Question

16．若∠ACB=a，∠EAC=b，∠FBC=c．
（1）如圖1，若AE∥BF，則a，b，c之間有何關系？a=b+c（直接寫出結果）
（2）如圖2，AM是∠EAC的平分線，BN是∠FBC的平分線，若AM∥BN，則a，b，c之間有何關系？并說明理由．
（3）如圖3，若∠EAC的平分線所在直線與∠FBC平分線所在直線交于P，試探究∠APB與a，b，c之間的關系是∠APB=a-$\frac{1}{2}$（b+c）（用a，b，c表示）
（4）如圖4，若a≥b+c，∠EAC與∠FBC的平分線相交于P₁，∠EAP₁與∠FBP₁的平分線交于P₂；依此類推，則∠P₆=a-$\frac{63}{64}$（b+c）．（用a、b、c表示），寫出結論即可．

Answer 1

分析 （1）過點C作CM∥AE，根據平行線的性質即可得出∠EAC=∠ACM、∠FBC=∠BCM，再通過角的計算即可得出結論；
（2）a=$\frac{1}{2}$（b+c）．過點C作CG∥AM，根據平行線的性質可得出∠MAC=∠ACG、∠NBC=∠BCG，再根據角平分線的性質結合角的計算即可得出結論；
（3）連接PC并延長到點M，根據三角形外角的性質可得出∠ACM=∠PAC+∠APC、∠BCM=∠PBC+∠BPC，再根據角平分線的性質結合角的計算即可得出結論；
（4）結合（3）的結論找出∠P₁、∠P₂、∠P₃，根據角的變化找出變化規(guī)律“∠P_n=a-$\frac{{2}^{n}-1}{{2}^{n}}$（b+c）”，依此規(guī)律即可得出結論．

解答 解：（1）過點C作CM∥AE，如圖1所示．
∵CM∥AE，
∴∠EAC=∠ACM．
∵CM∥AE，AE∥BF，
∴CM∥BF，
∴∠FBC=∠BCM．
∵∠ACB=∠ACM+∠BCM=a，∠EAC=b，∠FBC=c，
∴a=b+c．
故答案為：a=b+c．
（2）a=$\frac{1}{2}$（b+c）．理由如下：
過點C作CG∥AM，如圖2所示．
∵CG∥AM，AM∥BN，
∴AM∥BN∥CG，
∴∠MAC=∠ACG，∠NBC=∠BCG，
∵AM是∠EAC的平分線，BN是∠FBC的平分線，
∴∠ACB=∠ACG+∠BCG=∠MAC+∠NBC=$\frac{1}{2}$∠EAC+$\frac{1}{2}$∠FBC=$\frac{1}{2}$（∠EAC+∠FBC）=$\frac{1}{2}$（b+c）．
（3）連接PC并延長到點M，如圖3所示．
∵∠EAC的平分線所在直線與∠FBC平分線所在直線交于P，
∴∠PAC=$\frac{1}{2}$∠EAC，∠PBC=$\frac{1}{2}$∠FBC，
∵∠ACM=∠PAC+∠APC，∠BCM=∠PBC+∠BPC，∠ACB=∠ACM+∠BCM，∠APB=∠APC+∠BPC，
∴∠ACB=∠PAC+∠PBC+∠APB，
∵∠ACB=a，∠EAC=b，∠FBC=c，
∴a=$\frac{1}{2}$（b+c）+∠APB，
∴∠APB=a-$\frac{1}{2}$（b+c）．
故答案為：∠APB=a-$\frac{1}{2}$（b+c）．
（4）結合（3）結論可知：
∠P₁=a-$\frac{1}{2}$（b+c），∠P₂=a-$\frac{3}{4}$（b+c），∠P₃=a-$\frac{7}{8}$（b+c），…，
∴∠P_n=a-$\frac{{2}^{n}-1}{{2}^{n}}$（b+c）．
當n=6時，∠P₆=a-$\frac{{2}^{6}-1}{{2}^{6}}$（b+c）=a-$\frac{63}{64}$（b+c）．
故答案為：a-$\frac{63}{64}$（b+c）．

點評 本題考查了平行線的性質．角平分線的性質、角的計算、三角形外角的性質以及規(guī)律型中數的變化規(guī)律，解題的關鍵是：（1）找出∠ACB=∠EAC+∠FBC；（2）找出∠ACB=$\frac{1}{2}$∠EAC+$\frac{1}{2}$∠FBC；（3）根據三角形外角的性質找出∠ACB=∠PAC+∠PBC+∠APB；（4）找出規(guī)律“∠P_n=a-$\frac{{2}^{n}-1}{{2}^{n}}$（b+c）”．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時，根據平行線的性質找出相等或互補的角是關鍵．