Question

如圖所示，在平面直角坐標系中xOy中，拋物線y=mx²-2mx-2（m≠0）與y軸交于點A，其對稱軸與x軸交于點B
（1）求點A，B的坐標；
（2）若直線l與直線AB關于該拋物線的對稱軸對稱，該拋物線在-2＜x＜-1這一段位于直線l的上方，并且在2＜x＜3這一段位于直線AB的下方，求該拋物線的解析式；
（3）（2）中拋物線上兩點P、Q，若點P、Q繞某點逆時針旋轉90°相應得P₁（-6，-1）、Q₁（0，0）兩點，求以PQ為對角線的正方形的另兩個頂點坐標．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題,待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式,全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：壓軸題

分析：（1）令x=0求出y的值，即可得到點A的坐標，求出對稱軸方程，即可得到點B的坐標；
（2）求出點A關于對稱軸的對稱點（2，-2），然后設直線l的解析式為y=kx+b（k≠0），利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，再根據(jù)二次函數(shù)的對稱性判斷在2＜x＜3這一段與在-1＜x＜0這一段關于對稱軸對稱，從而判斷出拋物線與直線l的交點的橫坐標為-1，代入直線l求出交點坐標，然后將交點坐標代入拋物線的解析式求出m的值，就可得到拋物線解析式；
（3）通過驗證可知旋轉點為點S（-1，-1），并可求出點P、Q的坐標，過正方形PMQN的頂點P、Q分別作x軸的平行線，過頂點M、N分別作y軸的平行線，構成正方形EFGH，如圖2，易證△PHM≌△MGQ，則有PH=MG，HM=GQ．設GQ=x，則MH=x，MG=PH=x+1，根據(jù)GH=4-（-2）=6可求出x，就可得到點M的坐標，同理可求出點N的坐標．

解答：解：（1）當x=0時，y=-2，所以A（0，-2），
拋物線的對稱軸為直線x=-

-2m

2m

=1，所以B（1，0）；

（2）設點A（0，-2）關于對稱軸（直線x=1）的對稱點為點A′，
所以點A′的坐標為（2，-2）．
設直線l的解析式為y=kx+b（k≠0），
∵直線l經(jīng)過A′（2，-2）、B（1，0），
則

2k+b=-2 k+b=0

，
解得：

k=-2 b=2

，
∴直線l的解析式為y=-2x+2；
∵拋物線的對稱軸為直線x=1，
∴拋物線在2＜x＜3這一段與在-1＜x＜0這一段關于對稱軸對稱，
如圖1，

結合圖象可以觀察到：
拋物線在-2＜x＜-1這一段位于直線l的上方，
在-1＜x＜0這一段位于直線l的下方，
故拋物線與直線l的交點的橫坐標為-1，
當x=-1時，y=-2×（-1）+2=4，
∴拋物線過點（-1，4），
當x=-1時，m+2m-2=4，
解得：m=2，
∴拋物線的解析式為y=2x²-4x-2；

（3）當旋轉點落在點S（-1，-1）時，
將P₁（-6，-1）、Q₁（0，0）繞點S順時針旋轉90°，
所對應的點分別為P（-1，4）、Q（0，-2）．
當x=-1時，y=2×（-1）²-4×（-1）-2=4；
當x=0時，y=-2；
所以點P、點Q都在拋物線y=2x²-4x-2上．
過正方形PMQN的頂點P、Q分別作x軸的平行線，
過頂點M、N分別作y軸的平行線，構成正方形EFGH，如圖2，

則有MP=QM，∠G=∠H=∠PMQ=90°，
∴∠HPM=90°-∠HMP=∠GMQ．
在△PHM和△MGQ中，

∠HPM=∠GMQ ∠H=∠G MP=QM

，
∴△PHM≌△MGQ（AAS），
∴PH=MG，HM=GQ．
設GQ=x，則MH=x，MG=PH=x+1，
∴GH=GM+MH=x+1+x=4-（-2）=6，
解得：x=2.5，
∴點M的坐標為（2.5，4-2.5）即（2.5，1.5）．
同理可得：點N的坐標為（-3.5，0.5）．
以PQ為對角線的正方形的另兩個頂點坐標分別為（2.5，1.5），（-3.5，0.5）．

點評：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，有一定的難度，利用二次函數(shù)的對稱性得到拋物線經(jīng)過點（-1，4）是解決第（2）小題的關鍵，找到旋轉點并構造全等三角形是解決第（3）小題的關鍵．