Question

3．在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=$\frac{4}{3}$x+8與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，并交x正半軸于點(diǎn)C，且AB=AC．
（1）求拋物線的解析式；
（2）∠BAC的角平分線交y軸于點(diǎn)D，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿射線AD運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)P作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)Q：設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，線段PQ的長度為d，求d與m的函數(shù)關(guān)系式；
（3）在（2）的條件下，直線PQ交x軸于點(diǎn)G，在x軸上方的拋物線上，是否存在點(diǎn)R，使以A、D、G、R為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在請求出此時(shí)m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系，可得A、B點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)勾股定理，可得AB的長，根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，可得E點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法，可得AD的解析式，根據(jù)圖象上的點(diǎn)滿足函數(shù)解析式，可得P，Q，根據(jù)平行于y軸的直線上兩點(diǎn)間的距離是較大的縱坐標(biāo)減較小的縱坐標(biāo)，可得答案；
（3）①根據(jù)對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，可得R的坐標(biāo)，根據(jù)對邊相等，可得m的值；②根據(jù)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，可得R的坐標(biāo)，根據(jù)線段中點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系，可得m的值．

解答 解：（1）∵直線y=$\frac{4}{3}$x+8與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，
∴當(dāng)y=0時(shí)，0=$\frac{4}{3}$x+8時(shí)，x=-6，即A（-6，0），
當(dāng)x=0時(shí)，y=8，即B（0，8），
∵AO=6，BO=8，
∴AB=$\sqrt{A{O}^{2}+B{O}^{2}}$=10，
∵AB=AC，
∴OC=AC-AO=10-6=4，
∴C（4，0）．
把A（-6，0），B（0，8），C（4，0）代入y=ax²+bx+c，
得$\left\{\begin{array}{l}{0=36a-6b+c}\\{8=c}\\{0=16a+4b+c}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{3}}\\{b=-\frac{2}{3}}\\{c=8}\end{array}\right.$
∴拋物線的解析式為：y=-$\frac{1}{3}$x²-$\frac{2}{3}$x+8，
（2）如圖1，
由AB=AC，AD平分∠BAC，得
E是BC的中點(diǎn)（2，4），設(shè)AE的解析式為y=kx+b，將A、E點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{-6k+b=0}\\{2k+b=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=3}\end{array}\right.$
AE的解析式為y=$\frac{1}{2}$x+3，
設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（m，$\frac{1}{2}$m+3），Q（m，-$\frac{1}{3}$m²-$\frac{2}{3}$m+8），
當(dāng)-6＜m＜$\frac{5}{2}$時(shí)，d=-$\frac{1}{3}$m²-$\frac{2}{3}$m+8-（$\frac{1}{2}$m+3）=-$\frac{1}{3}$m²-$\frac{7}{6}$m+5，
當(dāng)m≥$\frac{5}{2}$時(shí)，d=$\frac{1}{2}$m+3-（-$\frac{1}{3}$m²-$\frac{2}{3}$m+8）=$\frac{1}{3}$m²+$\frac{7}{6}$m-5，
綜上所述：d=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{3}{m}^{2}-\frac{2}{3}m+5（-6＜m＜\frac{5}{2}）}\\{\frac{1}{3}{m}^{2}+\frac{7}{6}m-5（m≥\frac{5}{2}）}\end{array}\right.$；
（3）當(dāng)x=0時(shí)，y=3，即D（0，3），
①如圖2，
DR∥AG，DR=AG，
當(dāng)y=3時(shí)，-$\frac{1}{3}$x²-$\frac{2}{3}$x+8=3，化簡，得
x²+2x-15=0．
解得x₁=-5，x₂=3，
即R₁（-5，3），AG₁=R₁D=5，-6+5=-1，m=-1，
R₂（3，3）；AG₂=DR₂=3，-6+3=-3，m=-3，
②如圖3，
由對角線互相平分，得
R的縱坐標(biāo)與D的縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，R的縱坐標(biāo)為-3，
當(dāng)y=-3時(shí)，-$\frac{1}{3}$x²-$\frac{2}{3}$x+8=-3，化簡，得
x²+2x-33=0．
解得x₁=-1+$\sqrt{34}$，x₂=-1-$\sqrt{34}$，
即R₃（-1-$\sqrt{34}$，-3），R₃D的中點(diǎn)為（$\frac{-1-\sqrt{34}}{2}$，0），AG₃的中點(diǎn)為（$\frac{-1-\sqrt{34}}{2}$，0），
m=-1-$\sqrt{34}$+6=5-$\sqrt{34}$；
R₄（-1+$\sqrt{34}$，-3）；R₄D的中點(diǎn)為（$\frac{-1+\sqrt{34}}{2}$，0），AG₄的中點(diǎn)為（$\frac{-1+\sqrt{34}}{2}$，0），
m=-1+$\sqrt{34}$+6=5+$\sqrt{34}$；
綜上所述：直線PQ交x軸于點(diǎn)G，在x軸上方的拋物線上，存在點(diǎn)R，使以A、D、G、R為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，此時(shí)m的值-1，-3，5-$\sqrt{34}$，5+$\sqrt{34}$．

點(diǎn)評 本題考查了二次函數(shù)綜合題，利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；利用平行于y軸的直線上兩點(diǎn)間的距離是較大的縱坐標(biāo)減較小的縱坐標(biāo)是解題關(guān)鍵，要分類討論，以防遺漏；利用對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，對角線互相平分的四邊形是平行四邊形是解題關(guān)鍵．