Question

已知一元二次方程x²-（2a+1）+a²+a=0．
（1）求證：方程有兩個不相等的實數(shù)根．
（2）若△ABC的兩邊AB、AC的長是原方程的兩個實數(shù)根，第三邊BC的長為5，當(dāng)△ABC是等腰三角形時，求該三角形的周長．

Answer 1

考點：根的判別式,根與系數(shù)的關(guān)系,三角形三邊關(guān)系,等腰三角形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）證明判別式△＞0，即可解決問題．
（2）首先求出方程的兩個實數(shù)根，然后根據(jù)等腰三角形的定義，結(jié)合分類討論的數(shù)學(xué)思想逐一解析，即可解決問題．

解答：解：（1）證明：∵△=[-（2a+1）]²-4（a²+a）
=4a²+4a+1-4a²-4a
=1＞0，
∴方程有兩個不相等的實數(shù)根．
（2）解方程x²-（2a+1）+a²+a=0，
得：兩個根分別為a、a+1；
∵a≠a+1，
∴a與a+1只能是一個為腰，另一個為底；
若a為腰，則a+1為底，此時a=5，
∴該三角形的周長=16；
若a+1為腰，則a為底，此時a+1=5，a=4；
∴該三角形的周長=14．

點評：該題主要考查了根的判別式、等腰三角形的定義及其應(yīng)用問題；解題的關(guān)鍵是深入把握題意、大膽推理猜測、科學(xué)解答論證．