Question

如圖，四邊形ABCD中，AC=CD，AB=2BC，∠BAC與∠B互余，CE∥BA，CE交AD于E，且CD²=CE²+DE²，求證：AD=

3

BC．

Answer 1

考點(diǎn)：勾股定理的逆定理,相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：如圖，首先求出∠BAC=30°；進(jìn)而得到∠ECA=∠BAC=30°；證明△ACD為等邊三角形，這是解決本題的關(guān)鍵；
得到AD=AC；證明AC=

3

BC，問(wèn)題即可解決．

解答：解：如圖，
∵∠BAC與∠B互余，
∴∠AB=90°；而AB=2BC，
∴∠BAC=30°；
∵CE∥BA，
∴∠ECA=∠BAC=30°；
∵CD²=CE²+DE²，
∴∠CED=90°；
在直角△ACE與直角△DCE中，
∵

AC=DC CE=CE

，
∴△ACE≌△DCE（HL），
∴∠DCE=∠ACE=30°，
∴∠ACD=60°，△ACD為等邊三角形，
∴AC=AD；在直角△ABC中，
∵AB=2BC，
∴AC²=（2BC）²-BC²=3BC²，
∴AC=

3

BC，AD=

3

BC．

點(diǎn)評(píng)：該題主要考查了勾股定理的逆定理、全等三角形的判定及其性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)等幾何知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用問(wèn)題；解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用勾股定理的逆定理等知識(shí)來(lái)分析、解答．