Question

5．若點(diǎn)A（3，3 ）是正比例函數(shù)y=x上一點(diǎn)，點(diǎn)M（m，0）與點(diǎn)N（0，n）分別在x軸與y軸上，且∠MAN=90°．

（1）如圖1，當(dāng)N點(diǎn)與原點(diǎn)O重合，求M點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）如圖2，已知m，n都為正數(shù)，連接MN，若MN=$\sqrt{30}$，求△MON的面積．

Answer 1

分析 （1）過點(diǎn)A作AD⊥x軸于D，由點(diǎn)A的坐標(biāo)即可得出AD=OD=3，進(jìn)而得出∠AOD=∠OAD=45°，再通過角的計(jì)算得出∠AMO=45°，從而得出AO=AM，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得出OM=2OD，由此即可得出點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（2）過點(diǎn)A作AQ⊥x軸于Q，作AP⊥y軸于P，由點(diǎn)A的坐標(biāo)結(jié)合矩形的性質(zhì)即可得出四邊形APOQ是正方形，根據(jù)正方形的性質(zhì)找出AP=AQ，再根據(jù)全等三角形的判定定理（ASA）即可證出△APN≌△AQM，從而得出PN=QM，通過邊與邊之間的關(guān)系結(jié)合勾股定理即可得出mn的值，將其代入三角形的面積公式即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）當(dāng)N點(diǎn)與原點(diǎn)O重合時(shí)，過點(diǎn)A作AD⊥x軸于D，如圖3所示．
∵A（3，3），
∴AD=OD=3，
∴∠AOD=∠OAD=45°．
又∵∠MAN=90°，
∴∠AMO=90°-45°=45°，
∴AO=AM，
∴OM=2OD=6，
∴M點(diǎn)坐標(biāo)為（6，0）．
（2）過點(diǎn)A作AQ⊥x軸于Q，作AP⊥y軸于P，如圖4所示．
則∠APO=∠AQO=90°，
又∵∠POQ=90°，
∴四邊形APOQ是矩形，
∵A（3，3），
∴OP=OQ=3，
∴四邊形APOQ是正方形，
∴AP=AQ．
∵∠PAN+∠NAQ=90°，∠QAM+∠NAQ=90°，
∴∠PAN=∠QAM．
在△APN和△AQM中，$\left\{\begin{array}{l}{∠APN=∠AQM=90°}\\{AP=AQ}\\{∠PAN=∠QAM}\end{array}\right.$，
∴△APN≌△AQM（ASA），
∴PN=QM．
∵M(jìn) （m，0），N （0，n），
∴ON=n，OM=m，
∴PN=3-n，QM=m-3，
∴3-n=m-3，即m+n=6．
在Rt△MON中，OM²+ON²=MN²，
∴${m^2}+{n^2}={（\sqrt{30}）^2}$，即m²+n²=30．
∵（m+n）²=m²+2mn+n²，
∴6²=30+2mn，即mn=3，
∴${S_{△MON}}=\frac{1}{2}mn=\frac{3}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、正方形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）找出AO=AM以及OD的長度；（2）求出mn的值．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，根據(jù)矩形（正方形或全等三角形）的性質(zhì)找出相等的邊角關(guān)系是關(guān)鍵．