Question

18．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，現(xiàn)在有一足夠大的直角三角板，它的直角頂點(diǎn)D是BC上一點(diǎn)，另兩條直角邊分別交AB、AC于點(diǎn)E、F．
（1）如圖1，若DE⊥AB，DF⊥AC，求證：四邊形AEDF是矩形；
（2）在（1）條件下，若點(diǎn)D在∠BAC的 角平分線上，試判斷此時(shí)四邊形AEDF的形狀，并說明理由；
（3）若點(diǎn)D在∠BAC的角平分線上，將直角三角板繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)一定的角度，使得直角三角板的兩條邊與兩條直角邊分別交于點(diǎn)E、F（如圖2），試證明AE+AF=$\sqrt{2}$AD．

Answer 1

分析 （1）由垂直的定義得到∠AED=∠AFD=90°，根據(jù)矩形的判定定理即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到DE=DF，根據(jù)正方形的判定定理即可得到矩形AEDF是正方形；
（3）作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，證得四邊形AMDN是正方形，由正方形的性質(zhì)得到AM=DM=DN=AN，∠MDN=∠AMD=90°，由余角的性質(zhì)得到∠NDF=∠EDM，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到EM=FN，根據(jù)勾股定理得到AD=$\sqrt{2}$AM，由于AM=$\frac{1}{2}$（AM+AN）=$\frac{1}{2}$（AE+AF），等量代換即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵DE⊥AB，BF⊥AC，
∴∠AED=∠AFD=90°，
∵∠BAC=90°，
∴四邊形AEDF是矩形；

（2）四邊形AEDF是正方形，
理由：∵點(diǎn)D在∠BAC的 角平分線上，DE⊥AB，BF⊥AC，
∴DE=DF，
∴矩形AEDF是正方形；

（3）作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，
∴∠AMD=∠AND=∠BAC=90°，
∵點(diǎn)D在∠BAC的 角平分線上，
∴DM=DN，
∴四邊形AMDN是正方形，
∴AM=DM=DN=AN，∠MDN=∠AMD=90°，
∴∠MDF+∠NDF=90°，
∵∠EDF=90°，
∴∠MDF+∠EDM=90°，
∴∠NDF=∠EDM，
在△EMD與△END中，$\left\{\begin{array}{l}{∠EMD=∠DNF}\\{DM=DN}\\{∠EDM=∠NDF}\end{array}\right.$，
∴△EMD≌△END，
∴EM=FN，
∵∠AMD=90°，
∴AM²+DM²=AD²，
∴AD=$\sqrt{2}$AM，
∵AM=$\frac{1}{2}$（AM+AN）=$\frac{1}{2}$（AE+AF），
∴AD=$\sqrt{2}$×$\frac{1}{2}$（AE+AF），
∴AE+AF=$\sqrt{2}$AD．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了矩形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形角平分線的性質(zhì)，正確的作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．