Question

3．在△ABC中，∠ACB=90°，D為AB邊的中點，將△ADC沿著AC折疊，得到△AEC．
（1）如圖1，求證：四邊形ADCE是菱形；
（2）如圖2，若BC=$\frac{3}{4}$AC，菱形ADCE的面積為24，求AB邊的長．

Answer 1

分析 （1）由折疊性質可知AD=AE、CD=CE，若證四邊形ADCE是菱形，需證AD=CD，在RT△ABC中，由斜邊上中線等于斜邊的一半即可得證；
（2）連接DE，根據BC=$\frac{3}{4}$AC可設BC=3a、AC=4a，則AB=5a，證四邊形BDEC是平行四邊形得DE=BC=3a，由S_菱形ADCE=2S_△ACD=$\frac{3a•4a}{2}$=24求得a的值即可得答案．

解答 解：（1）∵∠ACB=90°，D為中點，
∴CD=AD，
∵△ADC折疊得到△AEC，
∴AE=EC=CD=AD，
∴四邊形ADCE是菱形；

（2）連接DE，

設BC=3a，AC=4a，則AB=5a，
∵四邊形ADCE是菱形，
∴CE∥BD，
∵CE=CD=BD，
∴四邊形BDEC是平行四邊形，
∴DE=BC=3a，
∵四邊形ADCE是菱形，
∴AC⊥DE，
∴S_菱形ADCE=2S_△ACD=$\frac{3a•4a}{2}$=24，
∴a=2，
∴AB=5a=10．

點評 本題主要考查平行四邊形與菱形的判定與性質、直角三角形的性質，熟練掌握平行四邊形與菱形的判定與性質及菱形的面積公式是解題的關鍵．