Question

5．已知：關(guān)于x的一元二次方程x²-（2m+3）x+m²+3m+2=0（m為實(shí)數(shù)）的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別是△ABC的兩邊AB、AC的長，且第三邊BC的長為5．當(dāng)m取何值時(shí)，△ABC為直角三角形？

Answer 1

分析 首先利用根的判別式，判定無論m取何值，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，然后利用公式法求出兩個(gè)解，再設(shè)AB=m+1，AC=m+2，則AB＜AC，再分情況計(jì)算：①當(dāng)BC為直角邊時(shí)，②當(dāng)BC為斜邊時(shí)，分別算出m的值．

解答 解：∵a=1，b=-（2m+3），c=m²+3m+2，
∴△=b²-4ac，
=[-（2m+3）]²-4（m²+3m+2），
=4m²+12m+9-4m²-12m-8，
=1＞0，
∴無論m取何值，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
由求根公式得：$x=\frac{{-b±\sqrt{{b^2}-4ac}}}{2a}=\frac{{（{2m+3}）±1}}{2}$，
即x₁=m+2，x₂=m+1，
不妨設(shè)AB=m+1，AC=m+2，則AB＜AC，
∵△ABC為直角三角形且第三邊BC=5，
當(dāng)BC為直角邊時(shí)，由勾股定理得：
AB²+BC²=AC ²
∴（m+1）²+5²=（m+2）²，
解得m=11，
當(dāng)BC為斜邊時(shí)，由勾股定理得：AB²+AC²=BC²，
∴（m+1）²+（m+2）²=5²，
解得m₁=2，m₂=-5，
當(dāng)m=-5時(shí)，AB=m+1=-4，
∴m=-5（舍去）
∴m=11或m=2時(shí)，△ABC為直角三角形．

點(diǎn)評 此題主要考查了一元二次方程根的判別式，以及勾股定理逆定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是要分情況討論，不要漏解．