Question

【題目】如圖，在中，已知，，，點(diǎn)是邊上的任意一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，直線與直線相交于點(diǎn)．

（1）求邊上的高；

（2）當(dāng)為何值時(shí)，△與△重疊部分的面積最大，并求出最大值；

（3）連接，當(dāng)為直角三角形時(shí)，求的度數(shù)．

Answer 1

【答案】（1）3（2）（3）或

【解析】

（1）過(guò)點(diǎn)A做APBC垂足為P,根據(jù)題意推出B=C=30,再求出AP的值即為BC邊上的高；

（2）由對(duì)稱及AD與DC至少有一段不會(huì)超過(guò)BC的一半，得出當(dāng)△ADB與△ADC完全重合時(shí)，即當(dāng)BD=3時(shí)△ADB與△ADC重疊部分的面積最大；

（3）先判斷只有BDB=90才符合題意，再分別討論當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)時(shí)或右側(cè)時(shí)即可.

（1）過(guò)點(diǎn)做垂足為

∵且

∴

在中，

∴

∴底邊上的高.

（2）當(dāng)時(shí)，△與△重疊部分的面積最大.

此時(shí)、、三點(diǎn)重合，重疊部分為△，其面積為：

（理由如下：∵點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，∴△與△關(guān)于直線對(duì)稱，∴△≌△，∴，∵與至少有一段不會(huì)超過(guò)的一半，∴與至少有一個(gè)不會(huì)超過(guò)的一半，∴與至少有一個(gè)不會(huì)超過(guò)的一半，∴當(dāng)△與△完全重合時(shí)，△與△重疊部分的面積最大，并且最大值為的一半）.

（3）由軸對(duì)稱可知：，∴

即當(dāng)為直角三角形時(shí)，

.

如圖：當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)時(shí)

由軸對(duì)稱可知：

∴.

∴

.

如圖：當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)時(shí)

由軸對(duì)稱可知：.

∴

綜上所述，當(dāng)為直角三角形時(shí)，的度數(shù)為或.