Question

如圖，AB為⊙O的直徑，直線l與⊙O相切于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥l于點(diǎn)D，交⊙O于點(diǎn)E．
（1）求證：∠CAD=∠BAC；
（2）若sin∠BAC=

3

5

，BC=6，求DE的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì)

專題：

分析：（1）連接BC，OC，根據(jù)圓周角定理和弦切角定理可證得∠CAD=∠BAC；
（2）過(guò)點(diǎn)B作BF⊥l于點(diǎn)F，連接BE，先證得四邊形DEBF是矩形，得出DE=BF，根據(jù)切線的性質(zhì)求得∠BCF=∠BAC，然后通過(guò)解直角三角形得出sin∠BCF=

BF

BC

=sin∠BAC=

3

5

，即可求得BF，從而求得DE．

解答：（1）證明：連接OC，

∵CD為⊙O的切線，
∴OC⊥CD，
∵AD⊥CD，
∴OC∥AD，
∴∠CAD=∠ACO．
又∵OC=OA，
∴∠ACO=∠OAC，
∴∠CAD=∠OAC，
即∠CAD=∠BAC．                  
（2）過(guò)點(diǎn)B作BF⊥l于點(diǎn)F，連接BE，

∵AB為⊙O的直徑，
∴∠AEB=90°，
又AD⊥l于點(diǎn)D，
∴∠AEB=∠ADF=∠BFD=90°，
∴四邊形DEBF是矩形，
∴DE=BF．                         
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCF=90°．
∵∠ADC=90°，
∴∠ACD+∠CAD=90°，
∴∠BCF=∠CAD．
∵∠CAD=∠BAC，
∴∠BCF=∠BAC．                    
在Rt△BCF中，BC=6，
sin∠BCF=

BF

BC

=sin∠BAC=

3

5

，
∴BF=

3

5

BC=

18

5

，
∴DE=BF=

18

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了弦切角定理和圓周角定理、矩形的判定以及解直角三角形，作出輔助線構(gòu)建等腰三角形、矩形是解題的關(guān)鍵．