如圖,拋物線經(jīng)過A(-1,0),B(5,0),C(0,-
5
2
)三點(diǎn).
(1)求拋物線的解析式;
(2)在拋物線的對(duì)稱軸上有一點(diǎn)P,使PA+PC的值最小,求點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)點(diǎn)M為x軸上一動(dòng)點(diǎn),在拋物線上是否存在一點(diǎn)N,使以A,C,M,N四點(diǎn)構(gòu)成的四邊形為平行四邊形?若存在,求點(diǎn)N的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
(1)設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+c(a≠0),
∵A(-1,0),B(5,0),C(0,-
5
2
)三點(diǎn)在拋物線上,
a-b+c=0
25a+5b+c=0
c=-
5
2
,
解得
a=
1
2
b=-2
c=-
5
2

∴拋物線的解析式為:y=
1
2
x2-2x-
5
2


(2)∵拋物線的解析式為:y=
1
2
x2-2x-
5
2
,
∴其對(duì)稱軸為直線x=-
b
2a
=-
-2
1
2
=2,
連接BC,如圖1所示,
∵B(5,0),C(0,-
5
2
),
∴設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b(k≠0),
5k+b=0
b=-
5
2
,
解得
k=
1
2
b=-
5
2

∴直線BC的解析式為y=
1
2
x-
5
2
,
當(dāng)x=2時(shí),y=1-
5
2
=-
3
2
,
∴P(2,-
3
2
);

(3)存在.
如圖2所示,

①當(dāng)點(diǎn)N在x軸下方時(shí),
∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x=2,C(0,-
5
2
),
∴N1(4,-
5
2
);
②當(dāng)點(diǎn)N在x軸上方時(shí),
如圖,過點(diǎn)N2作N2D⊥x軸于點(diǎn)D,
在△AN2D與△M2CO中,
N2AD=∠CM2O
AN2=CM2
∠AN2D=∠M2CO

∴△AN2D≌△M2CO(ASA),
∴N2D=OC=
5
2
,即N2點(diǎn)的縱坐標(biāo)為
5
2

1
2
x2-2x-
5
2
=
5
2
,
解得x=2+
14
或x=2-
14
,
∴N2(2+
14
5
2
),N3(2-
14
5
2
).
綜上所述,符合條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)為(4,-
5
2
),(2+
14
,
5
2
)或(2-
14
,
5
2
).
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

學(xué)校大門如圖所示是一拋物線形水泥建筑物,大門的地面寬度為8米,兩側(cè)距地4米高處各有一掛校名橫匾用的鐵環(huán),兩鐵環(huán)的水平距離為6米,則該校門的高度(精確到0.1米)為( 。
A.8.9米B.9.1米C.9.2米D.9.3米

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖已知拋物線y=ax2+bx+3(a≠0)與x軸交于點(diǎn)A(1,0)和點(diǎn)B(-3,0),與y軸交于點(diǎn)C.
(1)求拋物線的解析式;
(2)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(-2,0).問:直線AC上是否存在點(diǎn)F,使得△ODF是等腰三角形?若存在,請(qǐng)直接寫出所有符合條件的點(diǎn)F的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知拋物線y=ax2+bx+c(a>0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)B(14,0)和C(0,-8),對(duì)稱軸為x=4.
(1)求該拋物線的解析式;
(2)點(diǎn)D在線段AB上且AD=AC,若動(dòng)點(diǎn)P從A出發(fā)沿線段AB以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度勻速運(yùn)動(dòng),同時(shí)另一動(dòng)點(diǎn)Q以某一速度從C出發(fā)沿線段CB勻速運(yùn)動(dòng),問是否存在某一時(shí)刻,使線段PQ被直線CD垂直平分?若存在,請(qǐng)求出此時(shí)的時(shí)間t(秒)和點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度;若不存在,請(qǐng)說明理由;
(3)在(2)的結(jié)論下,直線x=1上是否存在點(diǎn)M使△MPQ為等腰三角形?若存在,請(qǐng)求出所有點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,已知頂點(diǎn)為P的拋物線y=
1
2
x2+bx+c
經(jīng)過點(diǎn)A(-3,6),并x軸交于B(-1,0),C兩點(diǎn).
(1)求此拋物線的解析式;
(2)求四邊形ABPC的面S;
(3)試判斷四邊形ABPC的形狀,并說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

在直角坐標(biāo)系中,拋物線y=
4
9
x2+
2
9
mx+
5
9
m+
4
3
與x軸交于A,B兩點(diǎn),已知點(diǎn)A在x軸的負(fù)半軸上,點(diǎn)B在x軸的正半軸上,且BO=2AO,點(diǎn)C為拋物線的頂點(diǎn).
(1)求此拋物線的解析式和經(jīng)過B,C兩點(diǎn)的直線的解析式;
(2)點(diǎn)P在此拋物線的對(duì)稱軸上,且⊙P與x軸、直線BC都相切.求點(diǎn)P的坐標(biāo).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,經(jīng)過原點(diǎn)的拋物線y=-x2+2mx與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為A.點(diǎn)P在一次函數(shù)y=2x-2m的圖象上,PH⊥x軸于H,直線AP交y軸于點(diǎn)C,點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為1.(點(diǎn)C不與點(diǎn)O重合)
(1)如圖1,當(dāng)m=-1時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo).
(2)如圖2,當(dāng)0<m<
1
2
時(shí),問m為何值時(shí)
CP
AP
=2
?
(3)是否存在m,使
CP
AP
=2
?若存在,求出所有滿足要求的m的值,并定出相對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

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(1)求該二次函數(shù)的表達(dá)式;
(2)寫出該拋物線的對(duì)稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo).

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