已知拋物線y=ax2+bx+c(a>0)的圖象經(jīng)過點B(14,0)和C(0,-8),對稱軸為x=4.
(1)求該拋物線的解析式;
(2)點D在線段AB上且AD=AC,若動點P從A出發(fā)沿線段AB以每秒1個單位長度的速度勻速運(yùn)動,同時另一動點Q以某一速度從C出發(fā)沿線段CB勻速運(yùn)動,問是否存在某一時刻,使線段PQ被直線CD垂直平分?若存在,請求出此時的時間t(秒)和點Q的運(yùn)動速度;若不存在,請說明理由;
(3)在(2)的結(jié)論下,直線x=1上是否存在點M使△MPQ為等腰三角形?若存在,請求出所有點M的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
(1)∵拋物線過C(0,-8),
∴c=-8,即y=ax2+bx-8,
由函數(shù)經(jīng)過點(14,0)及對稱軸為x=4可得
-
b
2a
=4
196a+14b-8=0
,
解得:
a=
2
21
b=-
16
21
,
∴該拋物線的解析式為y=
2
21
x2-
16
21
x-8.
(2)

存在直線CD垂直平分PQ.
由函數(shù)解析式為y=
2
21
x2-
16
21
x-8,可求出點A坐標(biāo)為(-6,0),
在Rt△AOC中,AC=
AO2+OC2
=
100
=10=AD,
故可得OD=AD-OA=4,點D在函數(shù)的對稱軸上,
∵線CD垂直平分PQ,
∴∠PDC=∠QDC,PD=DQ,
由AD=AC可得,∠PDC=∠ACD,
∴∠QDC=∠ACD,
∴DQAC,
又∵DB=AB-AD=20-10=10=AD,
∴點D是AB中點,
∴DQ為△ABC的中位線,
∴DQ=
1
2
AC=5,
∴AP=AD-PD=AD-DQ=10-5=5,
∴t=5÷1=5(秒),
∴存在t=5(秒)時,線段PQ被直線CD垂直平分.
在Rt△BOC中,BC=
OC2+OB2
=
82+142
=2
65
,
而DQ為△ABC的中位線,Q是BC中點,
∴CQ=
65
,
∴點Q的運(yùn)動速度為每秒
65
5
單位長度;
(3)存在,過點Q作QH⊥x軸于H,則QH=
1
2
OC=4,PH=OP+OH=1+7=8,

在Rt△PQH中,PQ=
42+82
=
80
=4
5

①當(dāng)MP=MQ,即M為頂點,則此時CD與PQ的交點即是M點(上面已經(jīng)證明CD垂直平分PQ),
設(shè)直線CD的直線方程為:y=kx+b(k≠0),
因為點C(0,-8),點D(4,0),
所以可得直線CD的解析式為:y=2x-8,
當(dāng)x=1時,y=-6,
∴M1(1,-6);
②當(dāng)PQ為等腰△MPQ的腰時,且P為頂點.
設(shè)直線x=1上存在點M(1,y),因為點P坐標(biāo)為(-1,0),
從而可得PM2=22+y2,
又PQ2=80,
則22+y2=80,
即y=±
76
,
∴M2(1,2
19
),M3(1,-2
19
);
③當(dāng)PQ為等腰△MPQ的腰時,且Q為頂點,點Q坐標(biāo)為(7,-4),
設(shè)直線x=1存在點M(1,y),
則QM2=62+(y+4)2=80,
解得:y=2
11
-4或-2
11
-4;
∴M4(1,-4+2
11
),M5(1,-4-2
11
);
綜上所述:存在這樣的五點:
M1(1,-6),M2(1,2
19
),M3(1,-2
19
)M4(1,-4+2
11
),M5(1,-4-2
11
).
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,拋物線:y=
1
2
x2+bx+c
與x軸交于A、B(A在B左側(cè)),頂點為C(1,-2),
(1)求此拋物線的關(guān)系式;并直接寫出點A、B的坐標(biāo).
(2)求過A、B、C三點的圓的半徑.
(3)在拋物線上找點P,在y軸上找點E,使以A、B、P、E為頂點的四邊形是平行四邊形,求點P、E的坐標(biāo).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

在平面直角坐標(biāo)系中,現(xiàn)將一塊腰長為
5
的等腰直角三角板ABC放在第三象限,斜靠在兩坐標(biāo)軸上,且點A(0,-2),直角頂點C在x軸的負(fù)半軸上(如圖所示),拋物線y=ax2+ax+2經(jīng)過點B.
(1)點C的坐標(biāo)為______,點B的坐標(biāo)為______;
(2)求拋物線的解析式;
(3)在拋物線上是否還存在點P(點B除外),使△ACP仍然是以AC為直角邊的等腰直角三角形?若存在,求所有點P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知:如圖,把矩形OCBA放置于直角坐標(biāo)系中,OC=3,BC=2,取AB的中點M,連結(jié)MC,把△MBC沿x軸的負(fù)方向平移OC的長度后得到△DAO.
(1)直接寫出點D的坐標(biāo);
(2)已知點B與點D在經(jīng)過原點的拋物線上,點P在第一象限內(nèi)的該拋物線上移動,過點P作PQ⊥x軸于點Q,連結(jié)OP.若以O(shè)、P、Q為頂點的三角形與△DAO相似,試求出點P的坐標(biāo).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,拋物線經(jīng)過A(-1,0),B(5,0),C(0,-
5
2
)三點.
(1)求拋物線的解析式;
(2)在拋物線的對稱軸上有一點P,使PA+PC的值最小,求點P的坐標(biāo);
(3)點M為x軸上一動點,在拋物線上是否存在一點N,使以A,C,M,N四點構(gòu)成的四邊形為平行四邊形?若存在,求點N的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

唐朝詩人李欣的詩《古從軍行》開頭兩句說:“白日登山望峰火,黃昏飲馬傍交河.”詩中隱含著一個有趣的數(shù)學(xué)問題--將軍飲馬問題:
如圖1所示,詩中將軍在觀望烽火之后從山腳下的A點出發(fā),走到河旁邊的P點飲馬后再到B點宿營.請問怎樣走才能使總的路程最短?
作法如下:如(1)圖,從B出發(fā)向河岸引垂線,垂足為D,在AP的延長線上,取B關(guān)于河岸的對稱點B′,連接AB′,與河岸線相交于P,則P點就是飲馬的地方,將軍只要從A出發(fā),沿直線走到P,飲馬之后,再由P沿直線走到B,所走的路程就是最短的.
(1)觀察發(fā)現(xiàn)
再如(2)圖,在等腰梯形ABCD中,AB=CD=AD=2,∠D=120°,點E、F是底邊AD與BC的中點,連接EF,在線段EF上找一點P,使BP+AP最短.
作點B關(guān)于EF的對稱點,恰好與點C重合,連接AC交EF于一點,則這點就是所求的點P,故BP+AP的最小值為______.

(2)實踐運(yùn)用
如(3)圖,已知⊙O的直徑MN=1,點A在圓上,且∠AMN的度數(shù)為30°,點B是弧AN的中點,點P在直徑MN上運(yùn)動,求BP+AP的最小值.

(3)拓展遷移
如圖,已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的對稱軸為x=1,且拋物線經(jīng)過A(-1,0)、C(0,-3)兩點,與x軸交于另一點B.
①求這條拋物線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式;
②在拋物線的對稱軸直線x=1上找到一點M,使△ACM周長最小,請求出此時點M的坐標(biāo)與△ACM周長最小值.(結(jié)果保留根號)

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

如圖,直線y=x+2與x軸交于點A,與y軸交于點B,AB⊥BC,且點C在x軸上,若拋物線y=ax2+bx+c以C為頂點,且經(jīng)過點B,則這條拋物線的關(guān)系式為______.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,拋物線y=
1
2
x2+mx+n交x軸于A、B兩點,直線y=kx+b經(jīng)過點A,與這條拋物線的對稱軸交于點M(1,2),且點M與拋物線的頂點N關(guān)于x軸對稱.
(1)求這條拋物線的函數(shù)關(guān)系式;
(2)根據(jù)圖象,寫出函數(shù)值y為負(fù)數(shù)時,自變量x的取值范圍;
(3)設(shè)題中的拋物線與直線的另一交點為C,已知P(x,y)為直線AC上一點,過點P作PQ⊥x軸,交拋物線于點Q.當(dāng)-1≤x≤1.5時,求線段PQ的最大值.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

某海參養(yǎng)殖公司經(jīng)市場調(diào)研發(fā)現(xiàn),每周該公司銷售的海參量y(千克)與單價x(元/千克)之間存在如圖所示的一次函數(shù)關(guān)系.
(1)根據(jù)圖象求y與x之間的函數(shù)表達(dá)式;
(2)從經(jīng)濟(jì)效益來看,你認(rèn)為該公司如何制定海參單價,能使每周海參的銷售收入最高?每周海參的最高銷售收入是多少?

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同步練習(xí)冊答案