Question

20．如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°，O是BC邊上一點，以O(shè)為圓心的半圓與AB邊相切于點D，與AC、BC邊分別交于點E、F、G，連接OD，已知BD=4，AE=6，tan∠BOD=$\frac{2}{3}$．
（1）求⊙O的半徑OD；
（2）求證：AE是⊙O的切線．

Answer 1

分析 （1）由AC為圓O的切線，利用切線的性質(zhì)得到OD垂直于AC，在直角三角形ADO中，利用銳角三角函數(shù)定義，根據(jù)tan∠AOD及AD的值，求出OD的值即可；
（2）連接OE，由CE=OD=3，且OD與AE平行，利用一組對邊平行且相等的四邊形為平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的對邊平行得到OE與AD平行，再由DA與AE垂直得到OE與AC垂直，即可得證．

解答 解：（1）∵AB與圓O相切，
∴OD⊥AB
在Rt△BDO中，BD=4，tan∠BOD=$\frac{BD}{OD}$=$\frac{2}{3}$，
∴OD=6；                                 

（2）連接OE，
∵AE=OD=6，AE∥OD，
∴四邊形AEOD為平行四邊形，
∴AD∥EO，
∵DA⊥AE，
∴OE⊥AC，
又∵OE為圓的半徑，
∴AC為圓O的切線；

點評 此題考查了切線的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，平行四邊形的判定與性質(zhì)，以及平行線的性質(zhì)，熟練掌握切線的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．