Question

12．合作學習：如圖，矩形ABOD的兩邊OB，OD都在坐標軸的正半軸上，OD=2，另兩邊與反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k≠0）的圖象分別相交于點E，F(xiàn)，且DE=1，過點E作EH⊥x軸于點H，過點F作FG⊥EH于點G．回答下列問題：
①該反比例函數(shù)的解析式是什么？
②當四邊形AEGF為正方形時，點F的坐標是多少？
③閱讀合作學習內(nèi)容，請解答其中的問題；
小亮進一步研究四邊形AEGF的特征后提出問題：“當AE＞EG時，矩形AEGF與矩形DOHE能否全等？能否相似？”請回答小亮的問題，并說明理由．

Answer 1

分析 ①先確定出點E的坐標，用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；
②設出正方形的邊長，由正方形的性質(zhì)，表示出點F的坐標，利用點F在反比例函數(shù)圖象上，即可；
③Ⅰ、假設兩矩形全等，求出點F的坐標，判定點F是否在反比例函數(shù)圖象上，點F在反比例函數(shù)圖象上，能全等，不在反比例函數(shù)圖象上，不能全等，即可；
Ⅱ、假設兩矩形相似，利用相似得到的比例式求出點F的坐標即可．

解答 解：①由題意得E（1，2），
∵點E在反比例函數(shù)圖象上，
∴k=1×2=2，
∴反比例函數(shù)的解析式$y=\frac{2}{x}$，
②設正方形AEGF的邊長為a，
∴AE=AF=a，B（1+a，0），F(xiàn)（1+a，2-a），
∴F點代入反比例函數(shù)$y=\frac{2}{x}$得，（1+a）（2-a）=2，a=1或a=0（舍），
∴F（2，1）；
③Ⅰ、當AE＞EG時，矩形AEGF與矩形DOHE不能全等．
假設矩形AEGF與矩形DOHE全等，則AE=OD=2，AF=DE=1，
則F點坐標為（3，1），
∴3×1≠2，
∴F點不在反比例函數(shù)$y=\frac{2}{x}$的圖象上，
Ⅱ、當AE＞EG時，矩形AEGF與矩形DOHE能相似．
假設矩形AEGF與矩形DOHE相似，
∴$\frac{AE}{AF}=\frac{OD}{DE}=2$，
設AF=t，則AE=2t
∴OB=1+2t，BF=2-t
∴F（1+2t，2-t），
將F點坐標代入反比例函數(shù)y=$\frac{2}{x}$中，得（1+2t）（2-t）=2，
∴t=$\frac{3}{2}$，或t=0（舍），
∴F（4，$\frac{1}{2}$）．

點評 此題是相似三角形綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，相似矩形的性質(zhì)，解本題的關鍵求出點F的坐標．