Question

4．如圖1，己知直線m⊥直線n，O為垂足．點A在直線m上，點D在直線n上，以O(shè)A、AD為邊分別作等邊△OAC和△ADE．
（1）求證：CE=OD．
（2）若∠DAC=10°，求∠AEC的度數(shù)；
（3）如圖2，若點P是直線m上的一個動點，且點P在點A和點O的右邊，連接PC，以PC為邊在直線m的上方直線n的右側(cè)作等邊三角形△PCM，延長MA交直線n于N點，當(dāng)P點運動時，∠ANO的值是否發(fā)生變化？若不變，求其值，若變化，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出AC=AO，AE=AD，∠OAC=∠EAD=60°，求出∠CAE=∠DAO，根據(jù)SAS證△CAE≌△OAD，即可得出結(jié)論；
（2）由全等三角形的性質(zhì)得出∠ACE=∠AOD=90°，求出∠CAE=50°，即可得出∠AEC的度數(shù)．
（3）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出OA=AC，CP=CM，∠OCA=∠MCP=60°，求出∠OCP=∠ACM，根據(jù)SAS推出△OCP≌△ACM，推出∠COA=∠CAM=60°，求出∠OAN=∠MAP=60°，即可得出結(jié)果．

解答 （1）證明：如圖所示：
∵△OAC和△ADE是等邊三角形，
∴AC=AO，AE=AD，∠OAC=∠DAE=60°
∴∠CAE=∠DAO=60^○-∠CAD，
在△CAE和△OAD中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=AO}&{\;}\\{∠CAE=∠OAD}&{\;}\\{AE=AD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△CAE≌△OAD（SAS），
∴CE=OD；
（2）解：由（1）得：△CAE≌△OAD，
∴∠ACE=∠AOD=90°，
∵∠DAC=10°，∠DAE=60°，
∴∠CAE=60°-10°=50°，
∴∠AEC=180°-90°-50°=40°．
（3）解：∠ANO的值不變化，其度數(shù)為30°
理由是：∵△AOC和△CPM是等邊三角形，
∴OA=AC，CP=CM，∠OCA=∠MCP=60°，
∴∠OCP=∠ACM，
在△OCP和△ACM中，$\left\{\begin{array}{l}{OC=AC}&{\;}\\{∠OCP=∠ACM}&{\;}\\{CP=CM}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△OCP≌△ACM（SAS），
∴∠COA=∠CAM=60°，
∴∠MAP=180°-60°-60°=60°，
∴∠OAN=∠MAP=60°，
∵∠AON=90°，
∴∠ANO=90°-60°=30°．

點評 本題是三角形綜合題目，考查了等邊三角形性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用；本題綜合性強，難度適中，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．