Question

19．如圖，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C（0，3），且此拋物線的頂點坐標為M（-1，4）．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）設點D為已知拋物線對稱軸上的任意一點，當△ACD與△ACB面積相等時，求點D的坐標；
（3）點P在線段AM上，當PC與y軸垂直時，過點P作x軸的垂線，垂足為E，將△PCE沿直線CE翻折，使點P的對應點P′與P、E、C處在同一平面內，請求出點P′坐標，并判斷點P′是否在該拋物線上．

Answer 1

分析 （1）由拋物線經過的C點坐標以及頂點M的坐標，利用待定系數法即可求出拋物線解析式；
（2）設點D坐標為（-1，y_D），根據三角形的面積公式以及△ACD與△ACB面積相等，即可得出關于y_D含絕對值符號的一元一次方程，解方程即可得出結論；
（3）作點P關于直線CE的對稱點P′，過點P′作PH⊥y軸于H，設P′E交y軸于點N．根據對稱的性質即可得出△EON≌△CP′N，從而得出CN=NE，由點A、M的坐標利用待定系數法可求出直線AM的解析式，進而得出點P的坐標，在Rt△P′NC中，由勾股定理可求出CN的值，再由相似三角形的性質以及線段間的關系即可找出點P′的坐標，將其代入拋物線解析式中看等式是否成立，由此即可得出結論．

解答 解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+c經過點C（0，3），頂點為M（-1，4），
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=3}\\{-\frac{2a}=-1}\\{a-b+c=4}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=-2}\\{c=3}\end{array}\right.$．
∴所求拋物線的解析式為y=-x²-2x+3．
（2）依照題意畫出圖形，如圖1所示．
令y=-x²-2x+3=0，解得：x=-3或x=1，
故A（-3，0），B（1，0），
∴OA=OC，△AOC為等腰直角三角形．
設AC交對稱軸x=-1于F（-1，y_F），
由點A（-3，0）、C（0，3）可知直線AC的解析式為y=x+3，
∴y_F=-1+3=2，即F（-1，2）．
設點D坐標為（-1，y_D），
則S_△ADC=$\frac{1}{2}$DF•AO=$\frac{1}{2}$×|y_D-2|×3．
又∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•OC=$\frac{1}{2}$×[1-（-3）]×3=6，且S_△ADC=S_△ABC，
∴$\frac{1}{2}$×|y_D-2|×3．=6，解得：y_D=-2或y_D=6．
∴點D的坐標為（-1，-2）或（-1，6）．
（3）如圖2，點P′為點P關于直線CE的對稱點，過點P′作PH⊥y軸于H，設P′E交y軸于點N．
在△EON和△CP′N中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CNP′=∠ENO}\\{∠CP′N=∠EON=90°}\\{P′C=PC=OE}\end{array}\right.$，
∴△EON≌△CP′N（AAS）．
設NC=m，則NE=m，
∵A（-3，0）、M（-1，4）可知直線AM的解析式為y=2x+6，
∴當y=3時，x=-$\frac{3}{2}$，即點P（-$\frac{3}{2}$，3）．
∴P′C=PC=$\frac{3}{2}$，P′N=3-m，
在Rt△P′NC中，由勾股定理，得：$（\frac{3}{2}）^{2}$+（3-m）²=m²，
解得：m=$\frac{15}{8}$．
∵S_△P′NC=$\frac{1}{2}$CN•P′H=$\frac{1}{2}$P′N•P′C，
∴P′H=$\frac{9}{10}$．
由△CHP′∽△CP′N可得：$\frac{CH}{CP′}=\frac{CP′}{CN}$，
∴CH=$\frac{CP{′}^{2}}{CN}$=$\frac{6}{5}$，
∴OH=3-$\frac{6}{5}$=$\frac{9}{5}$，
∴P′的坐標為（$\frac{9}{10}$，$\frac{9}{5}$）．
將點P′（$\frac{9}{10}$，$\frac{9}{5}$）代入拋物線解析式，
得：y=-$（\frac{9}{10}）^{2}$-2×$\frac{9}{10}$+3=$\frac{39}{100}$≠$\frac{9}{5}$，
∴點P′不在該拋物線上．

點評 本題考查了待定系數法求函數解析式、三角形的面積公式、全等三角形的判定及性質以及相似三角形的性質，解題的關鍵是：（1）利用待定系數法求出函數解析式；（2）找出關于y_D含絕對值符號的一元一次方程；（3）求出點P′坐標．本題屬于中檔題，難度不小，（3）中求出點P′的坐標是本題的難點，使用垂直平分線的性質找點的坐標亦可．