Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，頂點(diǎn)為(4，1)的拋物線交y軸于點(diǎn)A，交x軸于B，C兩點(diǎn)(點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè))，已知C點(diǎn)坐標(biāo)為(6，0)．

(1)求此拋物線的解析式；

(2)連結(jié)AB，過點(diǎn)B作線段AB的垂線交拋物線于點(diǎn)D，如果以點(diǎn)C為圓心的圓與拋物線的對稱軸l相切，先補(bǔ)全圖形，再判斷直線BD與⊙C的位置關(guān)系并加以證明；

(3)已知點(diǎn)P是拋物線上的一個動點(diǎn)，且位于A，C兩點(diǎn)之間．問：當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到什么位置時，△PAC的面積最大？求出△PAC的最大面積．

Answer 1

【答案】(1)y＝－x2＋2x－3；(2) 直線BD與⊙C相離．證明見解析；(3) P點(diǎn)的位置是(3， )，△PAC的最大面積是.

【解析】

試題（1）根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)列出頂點(diǎn)式，再將C點(diǎn)坐標(biāo)代入即可；

（2）先求出圓的半徑，再借助三角形相似，求出C到直線的距離，比較他們的大小即可；

（3）過點(diǎn)作平行于軸的直線交于點(diǎn).設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，求出PQ的值，再表示出

的面積，借助函數(shù)關(guān)系式求出最值.

試題解析：（1）∵拋物線的頂點(diǎn)為（4,1）,

∴設(shè)拋物線解析式為.

∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)（6,0）,

∴.

∴.

∴.

所以拋物線的解析式為；

(2)補(bǔ)全圖形、判斷直線BD與⊙相離

令=0,則,.

∴點(diǎn)坐標(biāo)（2,0）.

又∵拋物線交軸于點(diǎn),

∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（0,-3）,

∴.

設(shè)⊙與對稱軸l相切于點(diǎn)F,則⊙的半徑CF=2,

作⊥BD于點(diǎn)E,則∠BEC=∠AOB=90°.

∵,

∴.

又∵,

∴.

∴∽,

∴.

∴,

∴.

∴直線BD與⊙相離；

(3)如圖,過點(diǎn)作平行于軸的直線交于點(diǎn).

∵A（0,-3）,（6,0）.

∴直線解析式為.

設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為（,）,

則點(diǎn)的坐標(biāo)為（,）.

∴PQ=-()=.

∵,

∴當(dāng)時,的面積最大為

∵當(dāng)時,=

∴點(diǎn)坐標(biāo)為（3,）.

綜上：點(diǎn)的位置是（3,）,的最大面積是.