Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，DO⊥AB于點(diǎn)O，連接DA交⊙O于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)C作⊙O的切線交DO于點(diǎn)E，連接BC交DO于點(diǎn)F．

（1）求證：CE=EF；

（2）連接AF并延長(zhǎng)，交⊙O于點(diǎn)G．填空：

①當(dāng)∠D的度數(shù)為　 　時(shí)，四邊形ECFG為菱形；

②當(dāng)∠D的度數(shù)為　 　時(shí)，四邊形ECOG為正方形．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）①30°；②22.5°.

【解析】（1）連接OC，如圖，利用切線的性質(zhì)得∠1+∠4=90°，再利用等腰三角形和互余證明∠1=∠2，然后根據(jù)等腰三角形的判定定理得到結(jié)論；

（2）①當(dāng)∠D=30°時(shí)，∠DAO=60°，證明△CEF和△FEG都為等邊三角形，從而得到EF=FG=GE=CE=CF，則可判斷四邊形ECFG為菱形；

②當(dāng)∠D=22.5°時(shí)，∠DAO=67.5°，利用三角形內(nèi)角和計(jì)算出∠COE=45°，利用對(duì)稱得∠EOG=45°，則∠COG=90°，接著證明△OEC≌△OEG得到∠OEG=∠OCE=90°，從而證明四邊形ECOG為矩形，然后進(jìn)一步證明四邊形ECOG為正方形．

（1）證明：連接OC，如圖，

.

∵CE為切線，

∴OC⊥CE，

∴∠OCE=90°，即∠1+∠4=90°，

∵DO⊥AB，

∴∠3+∠B=90°，

而∠2=∠3，

∴∠2+∠B=90°，

而OB=OC，

∴∠4=∠B，

∴∠1=∠2，

∴CE=FE；

（2）解：①當(dāng)∠D=30°時(shí)，∠DAO=60°，

而AB為直徑，

∴∠ACB=90°，

∴∠B=30°，

∴∠3=∠2=60°，

而CE=FE，

∴△CEF為等邊三角形，

∴CE=CF=EF，

同理可得∠GFE=60°，

利用對(duì)稱得FG=FC，

∵FG=EF，

∴△FEG為等邊三角形，

∴EG=FG，

∴EF=FG=GE=CE，

∴四邊形ECFG為菱形；

②當(dāng)∠D=22.5°時(shí)，∠DAO=67.5°，

而OA=OC，

∴∠OCA=∠OAC=67.5°，

∴∠AOC=180°-67.5°-67.5°=45°，

∴∠AOC=45°，

∴∠COE=45°，

利用對(duì)稱得∠EOG=45°，

∴∠COG=90°，

易得△OEC≌△OEG，

∴∠OEG=∠OCE=90°，

∴四邊形ECOG為矩形，

而OC=OG，

∴四邊形ECOG為正方形．

故答案為30°，22.5°．