Question

6．如圖①，在?ABCD中，BE⊥AD于點(diǎn)E，且點(diǎn)E為AD中點(diǎn)，AD=BE=4，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿射線AD方向運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，點(diǎn)P出發(fā)后，過(guò)點(diǎn)P作AD的垂線，交折線AB-BC于點(diǎn)Q，以PQ為邊向左作正方形PQMN．設(shè)正方形PQMN與?ABCD重疊部分的面積為S．
（1）求點(diǎn)N與點(diǎn)D重合時(shí)，t的值．
（2）用含t的代數(shù)式表示線段EN的長(zhǎng)．
（3）當(dāng)正方形PQMN與?ABCD重疊部分不是正方形時(shí)，求S與t之間的關(guān)系式．
（4）如圖②，設(shè)點(diǎn)O為BE的中點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，△OQM為等腰三角形時(shí)，t的值．

Answer 1

分析 （1）先求得tan∠A=2．從而得到PA=t，PD=QP=2t，最后依據(jù)PA+PN=4列方程求解即可；
（2）①當(dāng)0＜t＜$\frac{2}{3}$時(shí)，EN=AE-PA-PN；當(dāng)$\frac{2}{3}$≤t＜2時(shí)，EN=AN-AE=PA+PN-AE；當(dāng)t≥2時(shí)，EN=AP+PN-AE；
（3）①當(dāng)0＜t≤$\frac{4}{3}$時(shí)，S=正方形的面積；②當(dāng)$\frac{4}{3}$＜t≤2時(shí)．S=S_{正方形PQMN}-S_△FND；當(dāng)2＜t≤4時(shí)，S=梯形PQCD的面積；當(dāng)4＜t≤6時(shí)，S=△CQF的面積；當(dāng)t＞6時(shí)，S=0；
（4）如圖9所示：建立坐標(biāo)系可得到Q（2-t，2t，），M（2-3t，2t），然后分為OM=OQ，MO=MQ，QO=QM三種情況，接下來(lái)依據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式列方程求解即可；如圖10所示：當(dāng)Q在BC上時(shí)，MQ=QO=4，在Rt△BOQ中，依據(jù)勾股定理可求得QB的長(zhǎng)，然后可求得t的值

解答 解：（1）如圖1所示：

∵E是AD的中點(diǎn)，AD=4，
∴AE=2．
∵AE=2，BE=4，∠BEA=90°，
∴tan∠A=2．
又∵PA=t，
∴QP=2t．
∵PQMN為正方形，
∴PD=2t．
∴t+2t=4．
解得：t=$\frac{4}{3}$．
（2）①當(dāng)0＜t＜$\frac{2}{3}$時(shí)，如圖2所示：

∵由（1）可知PA=t，NP=2t．
∴EN=AE-PA-PN=2-t-2t=2-3t．
當(dāng)$\frac{2}{3}$≤t＜2時(shí)，如圖3所示：

∵由（1）可知PA=t，NP=2t．
∴EN=AN-AE=PA+PN-AE=t+2t-2=3t-2．
當(dāng)t≥2時(shí)，如圖4所示：

∵PA=t，PN=4，
∴EN=AP+PN-AE=t+4-2=t+2．
綜上所述，EN=$\left\{\begin{array}{l}{2-3t（0＜t＜\frac{2}{3}）}\\{3t-2（\frac{2}{3}≤t＜2）}\\{t+2（t≥2）}\end{array}\right.$．
（3）①如圖5所示：

當(dāng)0＜t≤$\frac{4}{3}$時(shí)，S=（2t）²=4t²；
②如圖6所示：當(dāng)$\frac{4}{3}$＜t≤2時(shí)．

∵NA=3t，AD=4，
∴DN=3t-4．
∴FN=2ND=2（3t-4）．
∴S=S_{正方形PQMN}-S_△FND=（2t）²-$\frac{1}{2}$×2×（3t-4）²=-5t²+24t-16．
當(dāng)2＜t≤4時(shí)，如圖7所示：

∵CQ=CB+EA-PA=6-t，DP=AD-AP=4-t，
∴S=$\frac{1}{2}$×4×（6-t+4-t）=-4t+20．
當(dāng)4＜t≤6時(shí)，如圖8所示：

∵CQ=6-t，
∴QF=12-2t．
∴S=$\frac{1}{2}$CQ•QF=$\frac{1}{2}$×2×（6-t）²=t²-12t+36．
當(dāng)t＞6時(shí)，S=0．
綜上所述S與t的函數(shù)為S=$\left\{\begin{array}{l}{4{t}^{2}（0＜t≤\frac{4}{3}）}\\{-5{t}^{2}+24t-16（\frac{4}{3}＜t≤2）}\\{-4t+20（2＜t≤4）}\\{{t}^{2}-12t+36（4＜t≤6）}\\{0（t＞2）}\end{array}\right.$．
（4）如圖9所示：

∵PA=t，PQ=QM=2t，
∴Q（2-t，2t，），M（2-3t，2t）．
當(dāng)OM=OQ時(shí)，由兩點(diǎn)間的距離公式可知：（2-3t）²+（2-2t）²=（2-t）²+（2-2t）²．
整理得：-2t（4-4t）=0．
解得：t=1或t=0（舍去）．
當(dāng)MO=MQ時(shí)．（2-3t）²+（2-2t）²=（2t）²．
整理得：9t²-20t+8=0．
解得：t=$\frac{10+2\sqrt{7}}{9}$或t=$\frac{10-2\sqrt{7}}{9}$．
當(dāng)QO=QM時(shí)（2-t）²+（2-2t）²=（2t）²．
整理得：t²-12t+8=0．
解得：t=6-2$\sqrt{7}$，t=6+2$\sqrt{7}$（舍去）．
如圖10所示：當(dāng)MQ=QO=4時(shí)．

∵在Rt△BOQ中，QB=$\sqrt{Q{O}^{2}-O{B}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$．
∴PA+QB+EA=2$\sqrt{3}$+2即t=2+2$\sqrt{3}$．
綜上所述，當(dāng)t=2+2$\sqrt{3}$或t=6-2$\sqrt{7}$或t=$\frac{10+2\sqrt{7}}{9}$或t=$\frac{10-2\sqrt{7}}{9}$時(shí)，△MQO為等腰三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是四邊形的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了銳角三角形函數(shù)的定義、正方形的性質(zhì)、正方形的面積、梯形的面積、三角形的面積，等腰三角形的定義，兩點(diǎn)間的距離公式、一元二次方程、一元一次方程的解法，根據(jù)題意畫出符合題意的圖形是解題的關(guān)鍵．