Question

1．已知如圖，正方形ABCD，AC為對(duì)角線(xiàn)，CF⊥AC，連接AF，點(diǎn)E在AC上，AE=CF，點(diǎn)G為線(xiàn)段CE中點(diǎn)，連接BG，
（1）求證：∠AFC=∠AGB；
（2）連接BF交線(xiàn)段AC于點(diǎn)H，連接EF，DK⊥EF，垂足為點(diǎn)K，若BH=2FH，請(qǐng)你探究線(xiàn)段HG和DK之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）連接BD，利用兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等證明△ACF∽△BOG，得∠AFC=∠AGB；
（2）連接對(duì)角線(xiàn)BD，得直角△EOM和直角△BOG，設(shè)OG=x，利用平行成比例性質(zhì)表示出邊FC、BO、GH、OM、DM的長(zhǎng)，再利用三角函數(shù)表示出DK的長(zhǎng)，最后計(jì)算$\frac{DK}{GH}$的值，得出結(jié)論．

解答 證明：（1）如圖1，連接BD交AC于點(diǎn)O，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AO=BO=CO=$\frac{1}{2}$AC，∠BOC=90°，$\frac{AC}{OB}=\frac{2}{1}$，
∵∠ACF=90°，
∴∠BOC=∠ACF，
∵EG=CG，
∴AO-EG=CO-CG=OG，
∵AO-EG=AE+EO-（OE+OG）=AE-OG，
∴AE-OG=OG，
∴AE=2OG，
∴CF=AE=2OG，
∴$\frac{CF}{OG}=\frac{2}{1}$，
∴$\frac{AC}{OB}=\frac{CF}{OG}$，
∴△ACF∽△BOG，
∴∠AFC=∠AGB；
（2）如圖2，DK=$\frac{3\sqrt{10}}{5}$GH，理由是：
連接BD交AC于O，交EF于M，
設(shè)OG=x，則FC=2x，
∵OB∥FC，
∴$\frac{BH}{HF}=\frac{OB}{FC}=\frac{OH}{HC}=\frac{2}{1}$，
∴OB=2FC=4x，OH=2HC，
則GH=OH-OG=$\frac{8x}{3}$-x=$\frac{5x}{3}$，OE=OA-AE=4x-2x=2x，
∵OM∥FC，
∴$\frac{OM}{FC}=\frac{OE}{EC}$，
∴$\frac{OM}{2x}=\frac{2x}{2x+4x}$，
∴OM=$\frac{2X}{3}$，
由勾股定理得：EM=$\sqrt{（2x）^{2}+（\frac{2x}{3}）^{2}}$=$\frac{2\sqrt{10}x}{3}$，
則DM=4x-$\frac{2x}{3}$=$\frac{10x}{3}$，
在△EOM和△DKM中，∠EOM=∠MKD，∠EMO=∠KMD，
∴∠CEF=∠MDK，
∵cos∠CEF=$\frac{OE}{EM}$，cos∠MDK=$\frac{DK}{DM}$，
∴$\frac{OE}{EM}=\frac{DK}{DM}$，
∴$\frac{2x}{\frac{2\sqrt{10}x}{3}}$=$\frac{DK}{\frac{10x}{3}}$，
∴DK=$\sqrt{10}x$，
∴$\frac{DK}{GH}$=$\frac{\sqrt{10}x}{\frac{5x}{3}}$=$\frac{3\sqrt{10}}{5}$，
則DK=$\frac{3\sqrt{10}}{5}$GH．

點(diǎn)評(píng) 本題是四邊形的綜合題，考查了正方形和平行線(xiàn)截線(xiàn)段成比例的性質(zhì)，在幾何證明中，如果不能求邊的具體長(zhǎng)度，可以設(shè)某一小邊為x，利用比例式表示一些線(xiàn)段的長(zhǎng)，最后得出結(jié)論；同時(shí)可以利用同角的三角函數(shù)值來(lái)求邊的長(zhǎng)度，比利用勾股定理要簡(jiǎn)單．