Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于點(diǎn)、兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)．

（1）如圖1，若點(diǎn)是直線上方拋物線上的一個(gè)動點(diǎn)，過點(diǎn)作軸交直線于點(diǎn)，作于點(diǎn)，點(diǎn)為直線上一動點(diǎn)，點(diǎn)為軸上一動點(diǎn)，連接，．當(dāng)最長時(shí)，求的最小值；

（2）如圖2，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得，將沿直線平移得到，直線與軸交于點(diǎn)，連接，將 沿邊翻折得 ，連接， ，當(dāng)是等腰三角形時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1） ；（2） 或 或 ．

【解析】

（1）先求出A、B、C的坐標(biāo)，直線BC解析式，可推出，設(shè)，則，推出時(shí)取得最大值，此時(shí)最長，作直線，過點(diǎn)作于，交于，交軸于，將轉(zhuǎn)化為PK即可求值；

（2）設(shè)，則，，分別表示出，，，再分別討論兩邊相等，建立方程求解．

（1）令，得或4，

令得

∴，，

BC=

設(shè)直線BC解析式為：，代入，得：

，解得

∴直線BC解析式為

∵，軸，

∴∠PDE=∠CBO

∵∠PED=∠COB=90°

∴△PDE∽△CBO

∴

∴，當(dāng)取得最大值時(shí)，線段最長．

設(shè)，則

∴

∵

∴當(dāng)，即時(shí)取得最大值，此時(shí)最長

作直線，過點(diǎn)作于，交于，交軸于，與y軸交于F，

易得F點(diǎn)坐標(biāo)為，

∴

∵∠OAF=∠KAN，∠AOF=∠AKN=90°

∴△AOF∽△AKN

∴，則

此時(shí)，

PK的長即為的最小值，

∵

∴設(shè)直線PK的解析式為，將代入得：

，解得，即直線PK解析式為

聯(lián)立與得：

解得，則M坐標(biāo)為

∴

即的最小值為．

（2）設(shè)，則，

∵

∴

當(dāng)時(shí)，，或

當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，

∴或或

∴或或