Question

6．已知：$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$+$\frac{{c}^{2}+{a}^{2}-^{2}}{2ac}$+$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=1，求證：三個(gè)分式中有兩個(gè)等于1，一個(gè)等于-1．

Answer 1

分析 先利用等式性質(zhì)變形得到$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$-1+$\frac{{c}^{2}+{a}^{2}-^{2}}{2ac}$-1+$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$+1=0，再利用完全平方公式和平方差公式得到$\frac{（b+c-a）（b+c+a）}{2bc}$+$\frac{（c-a-b）（c-a+b）}{2ac}$+$\frac{（a-b+c）（a-b-c）}{2ab}$=0，接著提公因式后通分，然后通分得到$\frac{（a-b+c）（b+c-a）（a+b-c）}{2abc}$=0，所以a-b+c=0或b+c-a=0或a+b-c=0，然后討論三種情況下三個(gè)分式的值即可得到結(jié)論．

解答 證明：$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$-1+$\frac{{c}^{2}+{a}^{2}-^{2}}{2ac}$-1+$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$+1=0，
$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}-2bc}{2bc}$+$\frac{{c}^{2}+{a}^{2}-^{2}-2ac}{2ac}$+$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}+2ab}{2ab}$=0，
$\frac{（b+c）^{2}-{a}^{2}}{2bc}$+$\frac{（c-a）^{2}-^{2}}{2ac}$+$\frac{（a-b）^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=0，
$\frac{（b+c-a）（b+c+a）}{2bc}$+$\frac{（c-a-b）（c-a+b）}{2ac}$+$\frac{（a-b+c）（a-b-c）}{2ab}$=0，
（b+c-a）（$\frac{a+b+c}{2bc}$+$\frac{c-a-b}{2ac}$）+$\frac{（a-b+c）（a-b-c）}{2ab}$=0，
（b+c-a）•$\frac{{a}^{2}+ab+ac+bc-ab-^{2}}{2abc}$+$\frac{（a-b+c）（a-b-c）}{2ab}$=0，
（b+c-a）•$\frac{（a+b）（a-b）+c（a+b）}{2abc}$+$\frac{（a-b+c）（a-b-c）}{2ab}$=0，
$\frac{（b+c-a）（a+b）（a-b+c）}{2abc}$+$\frac{c（a-b+c）（a-b-c）}{2abc}$=0，
$\frac{（a-b+c）（b+c-a）（a+b-c）}{2abc}$=0，
a-b+c=0或b+c-a=0或a+b-c=0，
當(dāng)a-b+c=0，即b=a+c時(shí)，$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{（a+c）^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2（a+c）c}$=1，$\frac{{c}^{2}+{a}^{2}-^{2}}{2ac}$=$\frac{{c}^{2}+{a}^{2}-（a+c）^{2}}{2ac}$=-1，$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{{a}^{2}+（a+c）^{2}-{c}^{2}}{2a（a+c）}$=1；
當(dāng)b+c-a=0，即a=b+c時(shí)，同理可得$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=-1，$\frac{{c}^{2}+{a}^{2}-^{2}}{2ac}$=1，$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=1；
當(dāng)a+b-c=0，即c=a+b時(shí)，$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=1，$\frac{{c}^{2}+{a}^{2}-^{2}}{2ac}$=1，$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=-1；
綜上所述，三個(gè)分式中有兩個(gè)等于1，一個(gè)等于-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了分式的等式證明：熟練掌握分式的基本性質(zhì)，能利用完全平方公式和平方差公式進(jìn)行因式分解．解決問(wèn)題的突破口是三個(gè)分式分別加上1或減去1構(gòu)造完全平方公式．