Question

2．在一平直河岸l同側(cè)有A，B兩個村莊，A，B到l的距離分別是3km和2km，AB=akm（a＞1）．現(xiàn)計劃在河岸l上建一抽水站P，用輸水管向兩個村莊供水．

方案設(shè)計
某班數(shù)學(xué)興趣小組設(shè)計了兩種鋪設(shè)管道方案：圖1是方案一的示意圖，設(shè)該方案中管道長度為d₁，且d₁=PB+BA（km）（其中BP⊥l于點P）；圖2是方案二的示意圖，設(shè)該方案中管道長度為d₂，且d₂=PA+PB（km）（其中點A′與點A關(guān)于l對稱，A′B與l交于點P）．
觀察計算
（1）在方案一中，d₁=a+2km（用含a的式子表示）
（2）在方案二中，組長小宇為了計算d₂的長，作了如圖3所示的輔助線，請你按小宇同學(xué)的思路計算，d₂=$\sqrt{{a}^{2}+24}$km（用含a的式子表示）．
探索歸納
（1）①當(dāng)a=4時，比較大�。篸_1＜d₂（填“＞”、“=”或“＜”）；
②當(dāng)a=6時，比較大�。篸_1＞d₂（填“＞”、“=”或“＜”）；
（2）請你參考方框中的方法指導(dǎo)，就a（當(dāng)a＞1時）的所有取值情況進(jìn)行分析，要使鋪設(shè)的管道長度較短，
應(yīng)選擇方案一還是方案二？

Answer 1

分析 觀察計算：（1）由題意可以得知管道長度為d₁=PB+BA（km），根據(jù)BP⊥l于點P得出PB=2，故可以得出d₁的值為a+2．
（2）由條件根據(jù)勾股定理可以求出KB的值，由軸對稱可以求出A′K的值，在Rt△KBA′由勾股定理可以求出A′B的值$\sqrt{{a}^{2}+24}$就是管道長度．
探索歸納：（1）①把a(bǔ)=4代入d₁=a+2和d₂=$\sqrt{{a}^{2}+24}$就可以比較其大��；
②把a(bǔ)=6代入d₁=a+2和d₂=$\sqrt{{a}^{2}+24}$就可以比較其大��；
（2）分類進(jìn)行討論當(dāng)d₁＞d₂，d₁=d₂，d₁＜d₂時就可以分別求出a的范圍，從而確定選擇方案．

解答 解：（1）∵如圖1，作A關(guān)于執(zhí)行l(wèi)的對稱點A′，連接PA′，
∵A和A'關(guān)于直線l對稱，
∴PA=PA'，
d₁=PB+BA=PB+PA'=a+2；
故答案為：a+2；

（2）因為BK²=a²-1，
A'B²=BK²+A'K²=a²-1+5²=a²+24
所以d₂=$\sqrt{{a}^{2}+24}$；
故答案為：$\sqrt{{a}^{2}+24}$；

探索歸納：
（1）①當(dāng)a=4時，d₁=6，d₂=$\sqrt{40}$，d₁＜d₂；
②當(dāng)a=6時，d₁=8，d₂=$\sqrt{60}$，d₁＞d₂；
故答案為：＜，＞；

（2）d₁²-d₂²=（a+2）²-（$\sqrt{{a}^{2}+24}$）²=4a-20．
①當(dāng)4a-20＞0，即a＞5時，d₁²-d₂²＞0，
∴d₁-d₂＞0，
∴d₁＞d₂；
②當(dāng)4a-20=0，即a=5時，d₁²-d₂²=0，
∴d₁-d₂=0，
∴d₁=d₂
③當(dāng)4a-20＜0，即a＜5時，d₁²-d₂²＜0，
∴d₁-d₂＜0，
∴d₁＜d₂
綜上可知：當(dāng)a＞5時，選方案二；
當(dāng)a=5時，選方案一或方案二；
當(dāng)1＜a＜5時，選方案一．

點評 本題考查了軸對稱的性質(zhì)的運用，最短路線問題數(shù)學(xué)模式的運用，勾股定理的運用，數(shù)的大小的比較方法的運用，綜合考查了學(xué)生的作圖能力，運用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力，以及觀察探究和分類討論的數(shù)學(xué)思想方法．