Question

17．如圖，△ABC是等腰直角三角形，點(diǎn)D是斜邊AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，CE⊥CD（點(diǎn)E在CD右側(cè)），CD=CE，DE交BC于F．
（1）求證：△ACD∽△BDF；
（2）若$\frac{BF}{CF}$=$\frac{3}{5}$，DF＜EF，求$\frac{DF}{EF}$的值；
（3）若AC=18$\sqrt{2}$、CD=6$\sqrt{13}$，求△CDF的面積．

Answer 1

分析 （1）只要證明∠A=∠B，∠ACD=∠BDF即可．
（2）如圖2中，連接EB，作FM⊥EB，F(xiàn)N⊥AB存在分別為M、N，先證明$\frac{DF}{EF}$=$\frac{DB}{EB}$=$\frac{DB}{AD}$，設(shè)BF=3k，CF=5k則AC=BC=8k，AB=8$\sqrt{2}$k，設(shè)BD=x，由△ACD∽△BDF，得到$\frac{FB}{AD}$=$\frac{DB}{AC}$，列出方程即可解決問(wèn)題．
（3）分兩種情形如圖3中，當(dāng)AD＞BD時(shí)，作CM⊥AB于M，DN⊥BC于N．如圖4中，當(dāng)AD＜BD時(shí)，作CM⊥AB于M，DN⊥BC于N．分別求出DN、CF即可解決問(wèn)題．

解答 （1）證明：如圖1中，

∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACD=∠ECF，
∵∠B=∠E=45°，∠EFC=∠BFD，
∴∠ECF=∠BDF，
∴∠BDF=∠ACD，
∵∠A=∠B=45°，
∴△ACD∽△BDF．

（2）解：如圖2中，連接EB，作FM⊥EB，F(xiàn)N⊥AB存在分別為M、N．

在△CAD和△CBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{CA=CB}\\{∠ACD=∠BCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△CAD≌△CBE，
∴AD=BE，∠CBE=45°，
∴∠FBD=∠FBE，
∵FM⊥EB，F(xiàn)N⊥AB，
∴FN=FM，
∴$\frac{{S}_{△EFB}}{{S}_{△FDB}}$=$\frac{\frac{1}{2}•EB•FM}{\frac{1}{2}•DB•FN}$=$\frac{EF}{DF}$，
∴$\frac{DF}{EF}$=$\frac{DB}{EB}$=$\frac{DB}{AD}$，
由題意可以設(shè)BF=3k，CF=5k則AC=BC=8k，AB=8$\sqrt{2}$k，設(shè)BD=x，
∵△ACD∽△BDF，
∴$\frac{FB}{AD}$=$\frac{DB}{AC}$，
∴$\frac{3k}{8\sqrt{2}k-x}$=$\frac{x}{8k}$，解得x=2$\sqrt{2}$k或6$\sqrt{2}$k（舍棄），
∴AD=6$\sqrt{2}$k，BD=2$\sqrt{2}$k，
∴$\frac{DF}{EF}$=$\frac{DB}{AD}$=$\frac{2\sqrt{2}k}{6\sqrt{2}k}$=$\frac{1}{3}$．

（3）如圖3中，當(dāng)AD＞BD時(shí)，作CM⊥AB于M，DN⊥BC于N．

∵△ACM是等腰直角三角形，AC=18$\sqrt{2}$，
∴AM=CM=BM=18，
在Rt△CMD中，DM=$\sqrt{C{D}^{2}-C{M}^{2}}$=$\sqrt{（6\sqrt{13}）^{2}-1{8}^{2}}$=12，
∴AD=30，BD=6，DN=BN=3$\sqrt{2}$，
∵△ACD∽△BDF，
∴$\frac{BF}{AD}$=$\frac{BD}{AC}$，
∴BF=5$\sqrt{2}$，CF=13$\sqrt{2}$，
∴S_△DCF=$\frac{1}{2}$•CF•DN=$\frac{1}{2}$×$13\sqrt{2}$×$3\sqrt{2}$=39．
如圖4中，當(dāng)AD＜BD時(shí)，作CM⊥AB于M，DN⊥BC于N．

同理可得，DM=12，AD=6，DB=30，DN=BN=15$\sqrt{2}$，BF=5$\sqrt{2}$，CF=13$\sqrt{2}$，
∴S_△CDF=$\frac{1}{2}$•CF•DN=$\frac{1}{2}$×$13\sqrt{2}$×15$\sqrt{2}$=195．
綜上所述△CDF的面積為39或195

點(diǎn)評(píng) 本題考查相似三角形綜合題、相似三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、三角形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形，利用相似三角形的性質(zhì)解決問(wèn)題，題目有一點(diǎn)難度，最后一個(gè)問(wèn)題，注意有兩種情形，不能漏解，屬于中考?jí)狠S題．