Question

3．在平面直角坐標系中，O為原點，把矩形COAB繞點C順時針旋轉，得到矩形CFED，記旋轉角為α，設FC與AB交于點H，且點A（0，4），C（6，0）．
（Ⅰ）如圖1，當α=60°時，求BD、HC的長；
（Ⅱ）當AH=HC時，求直線FC的解析式；
（Ⅲ）如圖2，當α=90°時，經過點D，且以點B為頂點的拋物線是否經過矩形CFED的對稱中心M，并說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由旋轉的旋轉得出CD=BC，而性質角為60°，得出CD=BC=BD即可；
（Ⅱ）設出AH的長，表示出BH，CH，用勾股定理求出a，從而得到點H的坐標，用待定系數(shù)法求出直線解析式；
（Ⅲ）先由旋轉確定出點F，D，用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式，再確定出點M的坐標，把橫坐標代入拋物線解析式中求出y值不等于點M的縱坐標，得出點M不在拋物線上．

解答 解：（Ⅰ）∵點A（0，4），C（6，0）．
∴B（6，4），BC=4，
由旋轉得，CD=CB=4，
∵旋轉角∠DBC=α=60°，
∴△BCD是等邊三角形，
∴BD=BC=4，
在Rt△CBH中，BC=4，∠BCH=90°-α=30°，
∴cos∠BCH=$\frac{BC}{CH}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴CH=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$；
（Ⅱ）設AH=a，則CH=a，BH=AB-AH=6-a，
在Rt△BCH中，BC=4，根據勾股定理得，BH²+BC²=CH²，
即：（6-a）²+16=a²，
∴a=$\frac{13}{3}$，
∴H（$\frac{13}{3}$，4），
∵C（6，0），
∴直線FC解析式為y=-$\frac{12}{5}$x+$\frac{72}{5}$；
（Ⅲ）當旋轉角為90°時，D（10，0），以點B（6，4）為頂點的拋物線，
設拋物線解析式為y=a（x-6）²+4，
∵點D（10，0）在拋物線上，
∴0=a（10-6）²+4，
∴a=-$\frac{1}{4}$，
∴拋物線解析式為y=-$\frac{1}{4}$（x-6）²+4，
由旋轉得點F（6，6），
∵矩形CFED的對稱中心M，
∴M（8，3），
∴當x=8時，y=-$\frac{1}{4}$（8-6）²+4=3，
∴經過點D，且以點B為頂點的拋物線經過矩形CFED的對稱中心M．

點評 此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，矩形的旋轉，旋轉的旋轉，勾股定理，等邊三角形的判定和性質，解本題的關鍵是勾股定理的應用．