Question

13．如圖所示，四邊形ABCD為平行四邊形，在AB、AD邊上各作正方形ABEF，ADGH，求證：平行四邊形對角線AC與FH垂直．

Answer 1

分析 先根據(jù)正方形的性質(zhì)及平行四邊形的性質(zhì)，判定△ABC≌△FAH，得出∠BAC=∠AFH，再根據(jù)∠BAC+∠FAQ=90°，得到∠AFH+∠FAQ=90°，最后得出AC⊥FH．

解答 證明：∵正方形ADGH中，AH=AD，
平行四邊形ABCD中，AD=BC，
∴AH=BC
∵正方形ABEF中，AB=FA，∠BAF=90°，
正方形ADGH中，∠DAH=90°，
∴∠BAD+∠FAH=180°，
又∵平行四邊形ABCD中，∠ABC+∠BAD=180°，
∴∠FAH=∠ABC，
在△ABC和△FAH中，
$\left\{\begin{array}{l}{FA=AB}\\{∠FAH=∠ABC}\\{AH=BC}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△FAH（SAS），
∴∠BAC=∠AFH，
又∵∠BAC+∠FAQ=90°，
∴∠AFH+∠FAQ=90°，
∴∠AGF=90°，即AC⊥FH．

點評 本題主要考查了正方形的性質(zhì)以及平行四邊形的性質(zhì)，解決問題的關(guān)鍵是根據(jù)條件判定△ABC≌△FAH或△CDA≌△FAH，依據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出對應(yīng)角相等．