Question

15．漏刻是我國古代一種計(jì)量時(shí)間的儀器．最初，人們發(fā)現(xiàn)陶器中的水會從裂縫中一滴一滴地漏出來，于是專門制造出一種留有小孔的漏壺，把水注入漏壺內(nèi)，水便從壺孔中流出來，另外再用一個(gè)容器收集漏下來的水，在這個(gè)容器內(nèi)有一根刻有標(biāo)記的箭桿，相當(dāng)于現(xiàn)代鐘表上顯示時(shí)刻的鐘面，用一個(gè)竹片或木塊托著箭桿浮在水面上，容器蓋的中心開一個(gè)小孔，箭桿從蓋孔中穿出，這個(gè)容器叫做“箭壺”．隨著箭壺內(nèi)收集的水逐漸增多，木塊托著箭桿也慢慢地往上浮，古人從蓋孔處看箭桿上的標(biāo)記，就能知道具體的時(shí)刻．后來古人發(fā)現(xiàn)漏壺內(nèi)的水多時(shí)，流水較快，水少時(shí)流水就慢，顯然會影響計(jì)量時(shí)間的精度．于是在漏壺上再加一只漏壺，水從下面漏壺流出去的同時(shí)，上面漏壺的水即源源不斷地補(bǔ)充給下面的漏壺，使下面漏壺內(nèi)的水均勻地流人箭壺，從而取得比較精確的時(shí)刻．
如圖所示是同學(xué)們根據(jù)古代漏刻制作的簡單模型．圖中容器A是底面積為250cm²的圓柱形薄壁玻璃缸，容器頂蓋上有大小兩個(gè)孔；B是用密度為0.5×10³kg/m³塑料制作的邊長為10cm立方體底托；C為質(zhì)量可忽略不計(jì)、總長度為60cm的輕質(zhì)塑料標(biāo)尺，標(biāo)尺的一端與底托相連，標(biāo)尺上均勻的刻有厘米刻度；D為固定于容器蓋口處的指示箭頭．
某次模擬計(jì)時(shí)實(shí)驗(yàn)中，同學(xué)們先將自來水龍頭調(diào)至均勻間隙滴水狀態(tài)，并測得水龍頭每分鐘滴水50滴，并用量筒測得每50滴水的體積為25.0cm³．再在容器A中加入適量水，將底托B放入水中，使其浮于水面上，此時(shí)標(biāo)尺C呈豎直狀態(tài)且位于大孔下方，指示箭頭D恰好指于標(biāo)尺的頂端零刻度處．此時(shí)開始滴水計(jì)時(shí)，假設(shè)整個(gè)計(jì)時(shí)過程標(biāo)尺始終處于豎直狀態(tài)，經(jīng)過3小時(shí)后，問：

（1）指示箭頭D應(yīng)指在標(biāo)尺上何處？
（2）此時(shí)標(biāo)尺和底托所受的浮力是多少牛頓？
（3）此裝置最多還能計(jì)時(shí)幾小時(shí)？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)每分鐘滴水50滴，每50滴水的體積為25.0cm³．計(jì)算經(jīng)過3小時(shí)后容器A增加的水的體積，然后根據(jù)h=$\frac{△V}{S}$求出液面升高的高度即為箭頭D應(yīng)指在標(biāo)尺上的位置；
（2）標(biāo)尺和底托是處于漂浮狀態(tài)的，根據(jù)漂浮的條件可知所受的浮力與重力相等，所以根據(jù)G=mg=ρVg求出標(biāo)尺和底托的重力即可；
（3）根據(jù)輕質(zhì)標(biāo)尺的總長度和容器A的底面積求出計(jì)時(shí)增加的水的體積，然后根據(jù)每分鐘滴水50滴，每50滴水的體積為25.0cm³求出此裝置最多能計(jì)時(shí)的時(shí)間．

解答 解：
（1）由題知，水龍頭每分鐘滴水50滴，每50滴水的體積為25.0cm³．
經(jīng)過3小時(shí)后容器A中增加水的體積為：
△V=25.0cm³/min×3×60min=4500cm³．
水面升高的高度（標(biāo)尺升高的高度）：h=$\frac{△V}{S}$=$\frac{4500c{m}^{3}}{250c{m}^{2}}$=18cm，
即指示箭頭D應(yīng)指在標(biāo)尺上18cm的位置；
（2）因?yàn)闃?biāo)尺和底托是處于漂浮狀態(tài)的，且標(biāo)尺C的質(zhì)量可忽略不計(jì)，
所以，根據(jù)漂浮條件可得，此時(shí)標(biāo)尺和底托所受的浮力：
F_浮=G_底托=m_底托g=ρ_塑料V_底托g=ρ_塑料（L_底托）³g=0.5×10³kg/m³×（0.1m）³×9.8N/kg=4.9N；
（3）因標(biāo)尺的總長度為60cm，
則容器A中最多能增加水的體積為：△V_max=250cm²×60cm=15000cm³，
根據(jù)每分鐘滴水50滴，每50滴水的體積為25.0cm³可得，此裝置最多能計(jì)時(shí)的時(shí)間：
t_max=$\frac{△{V}_{max}}{25c{m}^{3}/min}$=$\frac{15000c{m}^{3}}{25c{m}^{3}/min}$=600min=10h，
所以此裝置最多還能計(jì)時(shí)：
△t=t_max-t=10h-3h=7h．
答：（1）指示箭頭D應(yīng)指在標(biāo)尺上的18cm的位置；
（2）此時(shí)標(biāo)尺和底托所受的浮力是4.9N；
（3）此裝置最多還能計(jì)時(shí)7h．

點(diǎn)評 本題考查物體的浮沉條件和浮力的計(jì)算，關(guān)鍵是明確滴水計(jì)時(shí)器的原理．