分析 （Ⅰ）取AB，AB₁的中點(diǎn)分別為N，M，連接NM，NC，證明四邊形NMDC是平行四邊形，即可；
（Ⅱ）根據(jù)線面角的定義作出直線和平面所成角的平面角，根據(jù)三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行求解即可．

解答 解：（Ⅰ）在線段AB₁上存在一點(diǎn)M，使得DM∥平面ABC，
如圖，取AB，AB₁的中點(diǎn)分別為N，M，連接NM，NC，
則NM∥BB₁∥DC．且NM=$\frac{1}{2}$BB₁=DC，
∴四邊形NMDC是平行四邊形，
∴MD∥NC，
∵NC?平面ABC，MD?平面ABC，
∴DM∥平面ABC，此時(shí)AM=$\frac{1}{2}$AB₁=2$\sqrt{2}$，
（Ⅱ）取A₁C₁的中點(diǎn)E，連接B₁E，
∴B₁E⊥A₁C₁，
∵AA₁⊥平面A₁B₁C₁，
∴AA₁⊥B₁E，
又AA₁∩A₁C₁=A₁，
∴B₁E⊥平面ACC₁A₁，
連接AE，則AE是AB₁在平面ACC₁A₁內(nèi)的射影，
∴∠B₁AE是AB₁與平面ACC₁A₁所成的角，
在直角三角形B₁AE中，B₁E=2$\sqrt{3}$，AB₁=4$\sqrt{2}$，
則sin∠B₁AE=$\frac{{B}_{1}E}{A{B}_{1}}=\frac{2\sqrt{3}}{4\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$，
即AB₁與平面ACC₁A₁所成角的正弦值$\frac{\sqrt{6}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線面平行的定理的應(yīng)用以及直線和平面所成角的求解，利用相應(yīng)的判定定理以及線面角的定義作出平面角是解決本題的關(guān)鍵．