Question

7．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$ax²-（a+1）x+lnx，其中a∈R．
（1）當a＞0時，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）當a=0時，設g（x）=-xf（x）+2，是否存在區(qū)間[m，n]⊆（1，+∞）使得函數(shù)g（x）在區(qū)間[m，n]上的值域為[k（m+2），k（n+2）]？若存在，求實數(shù)k的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導數(shù)，通過討論a的范圍求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）a=0時，求出函數(shù)的導數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為關于x的方程x²-xlnx+2=k（x+2）在區(qū)間（1，+∞）上是否存在兩個不相等實根，即方程k=$\frac{{x}^{2}-xlnx+2}{x+2}$在區(qū)間（1，+∞）上是否存在兩個不相等實根，令h（x）=$\frac{{x}^{2}-xlnx+2}{x+2}$，x∈（1，+∞），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷即可．

解答 解：（1）f（x）的定義域是（0，+∞），
∵f′（x）=ax-（a+1）+$\frac{1}{x}$=$\frac{（ax-1）（x-1）}{x}$，（a＞0），
令f′（x）=0得：x=$\frac{1}{a}$或x=1；
①若0＜a＜1，則x∈（0，1）時，f′（x）＞0，x∈（1，$\frac{1}{a}$）時，f′（x）＜0，
x∈（$\frac{1}{a}$，+∞）時，f′（x）＞0，
∴函數(shù)f（x）在（0，1），（$\frac{1}{a}$，+∞）遞增，在（1，$\frac{1}{a}$）上遞減；
②a=1時，則x∈（0，+∞）時，f′（x）≥0，當且僅當x=1時，f′（x）=0，
故函數(shù)f（x）在（0，+∞）遞增；
③若a＞1時，則x∈（0，$\frac{1}{a}$）時，f′（x）＞0，x∈（$\frac{1}{a}$，1）時，f′（x）＜0，
x∈（1，+∞）時，f′（x）＞0，
故函數(shù)z在（0，$\frac{1}{a}$），（1，+∞）遞增，在（$\frac{1}{a}$，1）遞減，
綜上，0＜a＜1時，f（x）在（0，1），（$\frac{1}{a}$，+∞）遞增，在（1，$\frac{1}{a}$）遞減；
a=1時，f（x）在（0，+∞）遞增，無遞減區(qū)間；
a＞1時，f（x）在（0，$\frac{1}{a}$），（1，+∞）遞增，在（$\frac{1}{a}$，1）遞減；
（2）a=0時，f（x）=lnx-x，g（x）=x²-xlnx+2，∴g′（x）=2x-lnx-1，
令ω（x）=g′（x），則ω′（x）=2-$\frac{1}{x}$＞0，
?x∈（1，+∞），g′（x）在（1，+∞）遞增，
∴?x∈（1，+∞），有g(shù)′（x）＞g′（1）=1＞0，
即函數(shù)g（x）在區(qū)間（1，+∞）遞增，
假設存在區(qū)間[m，n]⊆（1，+∞），
使得函數(shù)g（x）在區(qū)間[m，n]上的值域是[k（m+2），k（n+2）]，
則$\left\{\begin{array}{l}{g（m）{=m}^{2}-mlnm+2=k（m+2）}\\{g（n）{=n}^{2}-nlnn+2=k（n+2）}\end{array}\right.$，
問題轉(zhuǎn)化為關于x的方程x²-xlnx+2=k（x+2）在區(qū)間（1，+∞）上是否存在兩個不相等實根，
即方程k=$\frac{{x}^{2}-xlnx+2}{x+2}$在區(qū)間（1，+∞）上是否存在兩個不相等實根，
令h（x）=$\frac{{x}^{2}-xlnx+2}{x+2}$，x∈（1，+∞），h′（x）=$\frac{{x}^{2}+3x-2lnx-4}{{（x+2）}^{2}}$，
令p（x）=x²+3x-2lnx-4，x∈（1，+∞），則p′（x）=$\frac{（2x-1）（x+2）}{x}$＞0，x∈（1，+∞），
故p（x）在（1，+∞）遞增，故?x∈（1，+∞），p（x）＞p（1）=0，即h′（x）＞0，
故h（x）在區(qū)間（1，+∞）遞增，
故方程k=$\frac{{x}^{2}-xlnx+2}{x+2}$在區(qū)間（1，+∞）上不存在兩個不相等實根，
綜上，不存在區(qū)間[m，n]⊆（1，+∞）使得函數(shù)g（x）在區(qū)間[m，n]上的值域是[k（m+2），k（n+2）]．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導數(shù)的應用以及分類討論思想、考查轉(zhuǎn)化思想，是一道綜合題．