Question

15．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，A（2，0）是橢圓的右頂點(diǎn)，過F₂且垂直于x軸的直線交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，且|PQ|=3；
（1）求橢圓的方程；
（2）若直線l與橢圓交于兩點(diǎn)M，N（M，N不同于點(diǎn)A），若$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AN}$=0，$\overrightarrow{MT}$=$\overrightarrow{TN}$；
①求證：直線l過定點(diǎn)；并求出定點(diǎn)坐標(biāo)；
②求直線AT的斜率的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由a=2，則橢圓的通徑丨PQ丨=$\frac{2^{2}}{a}$，代入即可求得b的值，即可取得橢圓的方程；
（2）當(dāng)直線MN斜率不存在時(shí)，將x=m代入橢圓方程，則$\sqrt{3（1-\frac{{m}^{2}}{4}）}$=2-m，即可求得m的值，即可求得直線恒過定點(diǎn)；當(dāng)斜率存在，設(shè)直線方程y=kx+b，代入橢圓方程，由韋達(dá)定理，向量的坐標(biāo)運(yùn)算，即可求得b=-$\frac{2}{7}$k，或b=-2k，即可求得直線方程，則直線過定點(diǎn)（$\frac{2}{7}$，0）；
（3）利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得T坐標(biāo)，利用直線的斜率公式，k_AT=$\frac{k}{8{k}^{2}+7}$=$\frac{1}{8k+\frac{7}{k}}$，分類當(dāng)k=0，k_AT=0，當(dāng)k≠0時(shí)，利用基本不等式的性質(zhì)，即可求得直線AT的斜率的取值范圍．

解答 解：（1）由題意可知：a=2，
令x=c，代入橢圓方程，解得：y=$\frac{^{2}}{a}$，則丨PQ丨=$\frac{2^{2}}{a}$=3，
則b=$\sqrt{3}$，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；…（4分）
（2）當(dāng)直線MN斜率不存在時(shí)，設(shè)l_MN：x=m，
則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\\{x=m}\end{array}\right.$，解得：y=$\sqrt{3（1-\frac{{m}^{2}}{4}）}$，則丨MN丨=2$\sqrt{3（1-\frac{{m}^{2}}{4}）}$，
設(shè)直線MN與x軸交于點(diǎn)B，丨丨MB=丨AM丨即$\sqrt{3（1-\frac{{m}^{2}}{4}）}$=2-m，
∴m=$\frac{2}{7}$或m=2（舍），
∴直線l_MN過定點(diǎn)（$\frac{2}{7}$，0）；
當(dāng)直線MN斜率存在時(shí)，設(shè)直線MN斜率為k，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則直線MN：y=kx+b，
與橢圓方程$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$，聯(lián)立，消取y整理得（4k²+3）x²+8kbx+4k²-12=0，
∴x₁+x₂=-$\frac{8kb}{4{k}^{2}+3}$，x₁x₂=$\frac{4^{2}-12}{4{k}^{2}+3}$，
△＞0，k∈R，
$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AN}$=0，（x₁-2，y₁）（x₂-2，y₂）=0，
即x₁x₂-2（x₁+x₂）+4+y₁y₂=0，
y₁y₂=（kx₁+b）（kx₂+b）=k²x₁x₂+kb（x₁+x₂）+b²=$\frac{3^{2}-12{k}^{2}}{4{k}^{2}+3}$，
∴7b²+4k²+16kb=0，則b=-$\frac{2}{7}$k，或b=-2k，
∴l(xiāng)_MN：y=k（x-$\frac{2}{7}$）或y=k（x-2），
∴直線l_MN過定點(diǎn)（$\frac{2}{7}$，0）或（2，0）；
綜合知，直線過定點(diǎn)（$\frac{2}{7}$，0）；…（8分）
（3）T為MN中點(diǎn)，T（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$），則T（-$\frac{4kb}{4{k}^{2}+3}$，$\frac{3b}{4{k}^{2}+3}$），
∴k_AT=$\frac{\frac{3b}{4{k}^{2}+3}}{-\frac{4kb}{4{k}^{2}+3}-2}$=$\frac{3b}{-4kb-8^{2}-6}$，
由b=-$\frac{2k}{7}$，則k_AT=$\frac{k}{8{k}^{2}+7}$，
當(dāng)k=0時(shí)，k_AT=0，
當(dāng)k≠0時(shí)，k∈R，k_AT=$\frac{k}{8{k}^{2}+7}$=$\frac{1}{8k+\frac{7}{k}}$，
由8k+$\frac{7}{k}$≥2$\sqrt{56}$=2$\sqrt{14}$，
或8k+$\frac{7}{k}$≤-2$\sqrt{56}$=-2$\sqrt{14}$，
∴k_AT∈[-$\frac{\sqrt{14}}{56}$，$\frac{\sqrt{14}}{56}$]，
直線AT的斜率的取值范圍為[-$\frac{\sqrt{14}}{56}$，$\frac{\sqrt{14}}{56}$]．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理，向量坐標(biāo)運(yùn)算，中點(diǎn)坐標(biāo)公式及基本不等式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．