Question

17．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的離心率為$\sqrt{5}$，圓心在x軸的正半軸上的圓M與雙曲線的漸近線相切，且圓M的半徑為2，則以圓M的圓心為焦點的拋物線的標準方程為（　�。�

• A． y²=8$\sqrt{5}$x
• B． y²=4$\sqrt{5}$x
• C． y²=2$\sqrt{5}$x
• D． y²=$\sqrt{5}$x

Answer 1

分析 設圓心，利用雙曲線的離心率公式，求得a與b的關系，根據(jù)漸近線方程，求得漸近線方程，利用點到直線的距離公式，即可求得圓心M根據(jù)拋物線的性質即可求得拋物線方程．

解答 解：設圓心M（x₀，0），x₀＞0，由雙曲線的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{5}$，則b=2a，
雙曲線雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1漸近線方程：ay±bx=0，即y±2x=0，
則圓心到漸近線的距離d=$\frac{丨0±2{x}_{0}丨}{\sqrt{1+（±2）^{2}}}$=$\frac{2{x}_{0}}{\sqrt{5}}$=2，
∴x₀=$\sqrt{5}$，
則拋物線的焦點坐標為（$\sqrt{5}$，0），
∴拋物線的標準方程為：y²=4$\sqrt{5}$x，
故選B．

點評 本題考查雙曲線的簡單幾何性質，離心率，漸近線方程及點到直線的距離公式，考查計算能力，屬于中檔題．