Question

16．已知離心率為2的雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的兩條漸近線與拋物線y²=2px（p＞0）的準線交于A，B兩點，O為坐標原點，若${S_{△AOB}}=\sqrt{3}$，則p的值為2．

Answer 1

分析 求出雙曲線的漸近線方程與拋物線y²=2px（p＞0）的準線方程，進而求出A，B兩點的坐標，再由雙曲線的離心率為2，△AOB的面積為$\sqrt{3}$，列出方程，由此方程求出p的值．

解答 解：∵雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$，
∴雙曲線的漸近線方程是y=±$\frac{a}$x，
又拋物線y²=2px（p＞0）的準線方程是x=-$\frac{p}{2}$，
故A，B兩點的縱坐標分別是y=±$\frac{pb}{2a}$，
又由雙曲線的離心率為2，所以$\frac{c}{a}$=2，則$\frac{a}$=$\sqrt{3}$，
A，B兩點的縱坐標分別是y=±$\frac{\sqrt{3}p}{2}$，
又△AOB的面積為$\sqrt{3}$，x軸是角AOB的角平分線，
∴$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$p×$\frac{p}{2}$=$\sqrt{3}$，得p=2．
故答案為2．

點評 本題考查圓錐曲線的共同特征，解題的關鍵是求出雙曲線的漸近線方程，解出A，B兩點的坐標，列出三角形的面積與離心率的關系也是本題的解題關鍵，有一定的運算量，做題時要嚴謹，防運算出錯．