【題目】已知函數(shù),直線:.
(Ⅰ)設是圖象上一點,為原點,直線的斜率,若 在 上存在極值,求的取值范圍;
(Ⅱ)是否存在實數(shù),使得直線是曲線的切線?若存在,求出的值;若不存在,說明理由;
(Ⅲ)試確定曲線與直線的交點個數(shù),并說明理由.
【答案】,(Ⅲ)見解析
【解析】
(Ⅰ)先根據(jù)斜率公式列再求導數(shù)及其零點,最后根據(jù)條件列不等式,解得結(jié)果,(Ⅱ)設切點,根據(jù)導數(shù)幾何意義得斜率,再根據(jù)點斜式得切線方程,最后根據(jù)切線過(0,-1)點列方程,解得切點坐標,即得的值;(Ⅲ)先變量分離,轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)圖象,利用導數(shù)研究其單調(diào)性,再結(jié)合函數(shù)圖象確定交點個數(shù).
(Ⅰ)∵,∴,解得.
由題意得: ,解得.
(Ⅱ)假設存在實數(shù),使得直線是曲線的切線,令切點,
∴切線的斜率.
∴切線的方程為,
又∵切線過(0,-1)點,
∴.
解得,∴,
∴.
(Ⅲ)由題意,令, 得 .
令, ∴,由,解得.
∴在(0,1)上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,
∴,又時,;時,,
時,只有一個交點;時,有兩個交點;
時,沒有交點.
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【題目】在平面直角坐標系xOy中,以坐標原點O為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,直線l的極坐標方程為ρcosθ+ρsinθ=1,曲線C的極坐標方程為ρsin2θ=8cosθ.
(1)求直線l與曲線C的直角坐標方程;
(2)設點M(0,1),直線l與曲線C交于不同的兩點P,Q,求|MP|+|MQ|的值.
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【題目】已知函數(shù)=.
(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)已知在△ABC中,A,B,C的對邊分別為a,b,c,若,,求.
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【題目】已知雙曲線C:,O為坐標原點,F為C的右焦點,過F的直線與C的兩條漸近線的交點分別為M、N.若OMN為直角三角形,則|MN|=
A. B. 3 C. D. 4
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【題目】下列說法中,正確的序號是( 。
①“b=2”是“1,b,4成等比數(shù)列”的充要條件;
②“雙曲線與橢圓有共同焦點”是真命題;
③若命題p∨¬q為假命題,則q為真命題;
④命題p:x∈R,x2﹣x+1>0的否定是:x∈R,使得x2﹣x+1≤0.
A.①②B.②③④C.②③D.②④
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【題目】如圖所示,四棱錐P﹣ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,PA=PD,四邊形ABCD為等腰梯形,BC∥AD,BC=CDAD=1,E為PA的中點.
(1)求證:EB∥平面PCD;
(2)求平面PAC與平面PCD所成角的余弦值.
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【題目】微信運動,是由騰訊開發(fā)的一個類似計步數(shù)據(jù)庫的公眾賬號.用戶可以通過關注微信運動公眾號查看自己每天或每月行走的步數(shù),同時也可以和其他用戶進行運動量的或點贊.加入微信運動后,為了讓自己的步數(shù)能領先于朋友,人們運動的積極性明顯增強,下面是某人2018年1月至2018年11月期間每月跑步的平均里程(單位:十公里)的數(shù)據(jù),繪制了下面的折線圖.
根據(jù)折線圖,下列結(jié)論正確的是( )
A. 月跑步平均里程的中位數(shù)為月份對應的里程數(shù)
B. 月跑步平均里程逐月增加
C. 月跑步平均里程高峰期大致在、月
D. 月至月的月跑步平均里程相對于月至月,波動性更小,變化比較平穩(wěn)
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【題目】已知拋物線,過定點作不垂直于x軸的直線,交拋物線于A,B兩點.
(1)設O為坐標原點,求證:為定值;
(2)設線段的垂直分線與x軸交于點,求n的取值范圍;
(3)設點A關于x軸的對稱點為D,求證:直線過定點,并求出定點的坐標.
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