Question

4．在等腰△ABC中，AD是底邊BC上的中線，若$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AD}$=m$\overrightarrow{AB}$$•\overrightarrow{AC}$，AD=λBC，則當m=2時，實數(shù)λ的值是±$\frac{\sqrt{2}}{2}$，當λ∈（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）時，實數(shù)m的取值范圍為（$\frac{3}{2}$，2）．

Answer 1

分析 以D為原點，以BC邊所在的直線為x軸，以中線AD所在的直線為y軸，根據(jù)向量的數(shù)量積公式得到m=（4m-4）λ²，代值計算即可求出λ的值，再得到得m=$\frac{4{λ}^{2}}{4{λ}^{2}-1}$=1+$\frac{1}{4{λ}^{2}-1}$，根據(jù)函數(shù)的單調性即可求出m的范圍．

解答 解：以D為原點，以BC邊所在的直線為x軸，以中線AD所在的直線為y軸建立直角坐標系，
不妨設B（a，0），C（-a，0），a＞0
∵AD=λBC=2λa
∴A（0，2λa），
∴$\overrightarrow{AB}$=（a，-2λa），$\overrightarrow{AD}$=（0，-2λa），$\overrightarrow{AC}$=（-a，-2λa），
∴$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AD}$=4λ²a²，$\overrightarrow{AB}$$•\overrightarrow{AC}$=-a²+4λ²a²，
∵$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AD}$=m$\overrightarrow{AB}$$•\overrightarrow{AC}$，
∴4λ²a²=-ma²+4mλ²a²，
即m=（4m-4）λ²，
當m=2時，λ²=$\frac{1}{2}$，
解得λ=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵AD=λBC
∴λ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
由m=（4m-4）λ²，得m=$\frac{4{λ}^{2}}{4{λ}^{2}-1}$=1+$\frac{1}{4{λ}^{2}-1}$
∵m=1+$\frac{1}{4{λ}^{2}-1}$在（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）上遞減，
∴m∈（$\frac{3}{2}$，2）
故答案為：$\frac{\sqrt{2}}{2}$．，（$\frac{3}{2}$，2）

點評 本題考查了向量的耳朵坐標運算和向量的數(shù)量積的運算和函數(shù)的單調性，屬于中檔題