Question

6．在△ABC中，若$\overrightarrow{BC}$•$\overrightarrow{BA}$+2$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$，則$\frac{sinA}{sinC}$的值為$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，利用平面向量的數(shù)量積，結(jié)合余弦定理和正弦定理，即可求出$\frac{sinA}{sinC}$的值．

解答 解：在△ABC中，設(shè)三條邊分別為a、b，c，三角分別為A、B、C，
由$\overrightarrow{BC}$•$\overrightarrow{BA}$+2$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$，
得ac•cosB+2bc•cosA=ba•cosC，
由余弦定理得：
$\frac{1}{2}$（a²+c²-b²）+（b²+c²-a²）=$\frac{1}{2}$（b²+a²-c²），
化簡得$\frac{{a}^{2}}{{c}^{2}}$=2，
∴$\frac{a}{c}$=$\sqrt{2}$，
由正弦定理得$\frac{sinA}{sinC}$=$\frac{a}{c}$=$\sqrt{2}$．
故答案為：$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了平面向量的數(shù)量積以及余弦定理和正弦定理的應(yīng)用問題，是綜合性題目．