Question

3．如圖，菱形ABCD中，∠ABC=60°，AC與BD相交于點(diǎn)O，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AB=2，CF=3．
（1）求證：BD⊥平面ACFE；
（2）當(dāng)直線FO與平面BED所成角的大小為45°時(shí)，求AE的長(zhǎng)度．

Answer 1

分析 （1）由AE⊥平面ABCD得出AE⊥BD，由菱形性質(zhì)得BD⊥AC，故而BD⊥平面ACFE；
（2）以O(shè)為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，設(shè)CF=a，求出$\overrightarrow{OF}$和平面BDE的法向量，利用直線FO與平面BED所成角的大小為45°，可得$\frac{a+3}{{\sqrt{10}\sqrt{{a^2}+1}}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，即可求出a的值．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴BD⊥AC．…（1分）
∵AE⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，…（2分）
∴BD⊥AE，…（3分）
又AC?平面ACFE，AE?平面ACFE，AC∩AE=A，…（4分）
∴BD⊥平面ACFE．…（5分）
（2）解：以O(shè)為原點(diǎn)，以O(shè)A，OB所在直線分別為x軸，y軸，以過(guò)點(diǎn)O且平行于CF的直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系．…（6分）
則$B（{0，\sqrt{3}，0}），D（{0，-\sqrt{3}，0}），F(xiàn)（{-1，0，3}）$．
設(shè)AE=a，則E（1，0，a），
∴$\overrightarrow{OF}=（{-1，0，3}），\overrightarrow{DB}=（{0，2\sqrt{3}，0}），\overrightarrow{EB}=（{-1，\sqrt{3}，-a}）$，…（7分）
設(shè)平面BDE的法向量為$\overrightarrow n=（{x，y，z}）$，則$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow n•\overrightarrow{DB}=0\\ \overrightarrow n•\overrightarrow{EB}=0\end{array}\right.$…（8分）
即$\left\{\begin{array}{l}2\sqrt{3}y=0\\-x+\sqrt{3}y-az=0\end{array}\right.$令z=1，得$\overrightarrow n=（{-a，0，1}）$，…（9分）
∴$cos（{\overrightarrow n，\overrightarrow{OF}}）=\frac{{\overrightarrow n•\overrightarrow{OF}}}{{|{\overrightarrow n}||{\overrightarrow{OF}}|}}=\frac{a+3}{{\sqrt{10}\sqrt{{a^2}+1}}}$，…（10分）
∵直線FO與平面BED所成角的大小為45°，∴$\frac{a+3}{{\sqrt{10}\sqrt{{a^2}+1}}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，…（11分）
解得a=2或$a=-\frac{1}{2}$（舍），∴|AE|=2．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面垂直的判定，空間向量與空間角的計(jì)算，屬于中檔題．