Question

13．定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿足：f（x+1）=f（x-1），且當-1＜x＜0時，f（x）=2^x-1，則f（log₂20）等于（　　）

• A． $\frac{1}{4}$
• B． -$\frac{1}{4}$
• C． -$\frac{1}{5}$
• D． $\frac{1}{5}$

Answer 1

分析 根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，我們易判斷出log₂20∈（4，5），結(jié)合已知中f（x+1）=f（x-1）且x∈（-1，0）時，f（x）=2^x-1，利用函數(shù)的周期性與奇偶性，即可得到f（log₂20）的值．

解答 解：∵f（x+1）=f（x-1）
∴函數(shù)f（x）為周期為2的周期函數(shù)
又∵log₂32＞log₂20＞log₂16
∴4＜log₂20＜5
∴f（log₂20）=f（log₂20-4）=f（log₂ $\frac{5}{4}$）=-f（-log₂ $\frac{5}{4}$）
又∵x∈（-1，0）時，f（x）=2^x-1
∴f（-log₂ $\frac{5}{4}$）=-$\frac{1}{5}$，
故f（log₂20）=$\frac{1}{5}$．
故選：D．

點評 本題考查的知識點是函數(shù)的周期性和奇偶函數(shù)圖象的對稱性，其中根據(jù)已知中f（x+1）=f（x-1），求出函數(shù)的周期是解答的關鍵，屬中檔題．