Question

某公司計(jì)劃2014年在甲、乙兩個(gè)電視臺做總時(shí)間不超過300分鐘的廣告，廣告總費(fèi)用不超過180000元，甲、乙兩個(gè)電視臺的廣告收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)分別為1000元/分鐘和400元/分鐘．規(guī)定甲、乙兩個(gè)電視臺為該公司所做的每分鐘廣告，能給公司帶來的收益分別為3000元和2000元．問該公司如何分配在甲、乙兩個(gè)電視臺的廣告時(shí)間，才能使公司的收益最大，最大收益是多少萬元？

Answer 1

考點(diǎn)：簡單線性規(guī)劃

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：根據(jù)條件設(shè)出變量，建立二元一次不等式組，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論．

解答： 解：設(shè)公司在甲電視臺和乙電視臺做廣告的時(shí)間分別為x分鐘和y分鐘，總收益為z元，
由題意得

x+y≤300 1000x+400y≤180000 x≥0，y≥0

，
目標(biāo)函數(shù)為z=3000x+2000y．
二元一次不等式組等價(jià)于

x+y≤300 5x+2y≤900 x≥0，y≥0

，
作出二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域，即可行域（如圖）．
作直線l：3000x+2000y=0，即3x+2y=0．

平移直線l，從圖中可知，當(dāng)直線l過M點(diǎn)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最大值．
聯(lián)立

x+y=300 5x+2y=900

解得x=100，y=200．
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（100，200），
∴z_max=3000×100+2000×200=700000（元）．
答：該公司在甲電視臺做100分鐘廣告，在乙電視臺做200分鐘廣告，公司的收益最大，最大收益是700000元．

點(diǎn)評：本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，建立約束條件以及目標(biāo)函數(shù)，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．