Question

4．三棱錐P-ABC的四個頂點(diǎn)均在半徑為5的球面上，且△ABC是斜邊長為8的等腰直角三角形，則三棱錐P-ABC的體積的最大值為（　�。�

• A． 64
• B． 128
• C． $\frac{64}{3}$
• D． $\frac{128}{3}$

Answer 1

分析 由△ABC是斜邊長為8的等腰直角三角形，即△ABC的外接圓圓心為斜邊AC中點(diǎn)O₁，
當(dāng)PO₁⊥面ABC時，即P在P₁的位置處，三棱錐P-ABC的體積的最大．求出P₁O，就可求出三棱錐P-ABC的體積的最大值V

解答 解：如圖，∵△ABC是斜邊長為8的等腰直角三角形，
∴△ABC的外接圓圓心為斜邊AC中點(diǎn)O₁，
當(dāng)PO₁⊥面ABC時，即P在P₁的位置處，三棱錐P-ABC的體積的最大．
$O{{O}_{1}}^{2}=O{A}^{2}-{O}_{1}{A}^{2}$，即$O{O}_{1}=\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}$=3
∴P₁O=8，∴三棱錐P-ABC的體積的最大值V=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×4\sqrt{2}×4\sqrt{2}×8=\frac{128}{3}$
故選：D

點(diǎn)評 本題考查三棱錐P-ABC的體積的最大值、求的性質(zhì)，正確表示三棱錐P-ABC的體積是關(guān)鍵．屬于中檔題