Question

9．小明參與某商場(chǎng)家電會(huì)場(chǎng)舉行的一次智力問(wèn)答，其中問(wèn)題隨機(jī)抽取，若小明回答問(wèn)題正碘的概率為$\frac{3}{4}$，且正確加10分；回答問(wèn)題錯(cuò)誤的概率為$\frac{1}{4}$，且錯(cuò)誤扣10分；記小明回答完第n個(gè)問(wèn)題的總得分為S_n．
（1）求S₃=10的概率；
（2）記ξ=|S₄|，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)S₃=10時(shí)，即回答3個(gè)問(wèn)題后，正確2個(gè)，錯(cuò)誤1個(gè)；利用n次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)的概率計(jì)算即可；
（2）由ξ=|S₄|可知ξ的取值為0，20，40；計(jì)算對(duì)應(yīng)的概率值，寫出分布列，計(jì)算數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（1）當(dāng)S₃=10時(shí)，即回答3個(gè)問(wèn)題后，正確2個(gè)，錯(cuò)誤1個(gè)；
若回答正確第1個(gè)問(wèn)題，則其余2個(gè)問(wèn)題可任意回答正確1個(gè)問(wèn)題；
若第1個(gè)問(wèn)題回答錯(cuò)誤，則其余2個(gè)問(wèn)題回答正確；
記回答每個(gè)問(wèn)題正確的概率為p，則p=$\frac{3}{4}$，回答每個(gè)問(wèn)題錯(cuò)誤的概率為$\frac{1}{4}$；
故所求的概率為：P=${C}_{3}^{2}$•${（\frac{3}{4}）}^{2}$•$\frac{1}{4}$=$\frac{27}{64}$；
（2）由ξ=|S₄|可知ξ的取值為0，20，40；
可有P（ξ=0）=${C}_{4}^{2}$•${（\frac{3}{4}）}^{2}$•${（\frac{1}{4}）}^{2}$=$\frac{54}{256}$，
P（ξ=20）=${C}_{4}^{1}$•$\frac{3}{4}$•${（\frac{1}{4}）}^{3}$+${C}_{4}^{3}$•${（\frac{3}{4}）}^{3}$•$\frac{1}{4}$=$\frac{120}{256}$，
P（ξ=40）=${C}_{4}^{0}$•${（\frac{1}{4}）}^{4}$+${C}_{4}^{4}$•${（\frac{3}{4}）}^{4}$=$\frac{82}{256}$；
故ξ的分布列為：

ξ	0	20	40
P	$\frac{54}{256}$	$\frac{120}{256}$	$\frac{82}{256}$

數(shù)學(xué)期望為E（ξ）=0×$\frac{54}{256}$+20×$\frac{120}{256}$+40×$\frac{82}{256}$=$\frac{5680}{256}$=$\frac{355}{16}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望的求法問(wèn)題，解題時(shí)應(yīng)注意n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生k次的概率計(jì)算問(wèn)題，是綜合題．