Question

15．若函數(shù)f（x）的表達式為f（x）=$\frac{ax+b}{cx+d}$ （c≠0），則函數(shù)f（x）的圖象的對稱中心為（-$\fracsvtxm42{c}$，$\frac{a}{c}$），現(xiàn)已知函數(shù)f（x）=$\frac{2-2x}{2x-1}$，數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=f（$\frac{n}{2017}$）（n∈N），則此數(shù)列前2017項的和為-2016．

Answer 1

分析 由已知結論可得f（x）的對稱中心為（$\frac{1}{2}$，-1），即有f（x）+f（1-x）=-2，此數(shù)列前2017項的和按正常順序寫一遍，再倒過來寫，即運用數(shù)列的求和方法：倒序球和法，化簡即可得到所求和．

解答 解：若函數(shù)f（x）的表達式為f（x）=$\frac{ax+b}{cx+d}$ （c≠0），
則函數(shù)f（x）的圖象的對稱中心為（-$\frackcwqmog{c}$，$\frac{a}{c}$），
現(xiàn)已知函數(shù)f（x）=$\frac{2-2x}{2x-1}$，則對稱中心為（$\frac{1}{2}$，-1），
即有f（x）+f（1-x）=-2，
則數(shù)列前2017項的和為S₂₀₁₇=f（$\frac{1}{2017}$）+f（$\frac{2}{2017}$）+…+f（$\frac{2016}{2017}$）+f（1），
則S₂₀₁₇=f（$\frac{2016}{2017}$）+f（$\frac{2015}{2017}$）+…+f（$\frac{1}{2017}$）+f（1），
相加可得2S₂₀₁₇=[f（$\frac{1}{2017}$）+f（$\frac{2016}{2017}$）]+[f（$\frac{2}{2017}$）+f（$\frac{2015}{2017}$）]+…+2f（1）
=-2+（-2）+…+（-2）+0=-2×2016，
則此數(shù)列前2017項的和為-2016．
故答案為：-2016．

點評 本題考查函數(shù)的對稱性及應用，考查數(shù)列的求和方法：倒序相加求和，考查運算能力，屬于中檔題．