【題目】如圖所示,將一矩形花壇ABCD擴(kuò)建成一個(gè)更大的矩形花壇AMPN,要求M在AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上,N在AD的延長(zhǎng)線(xiàn)上,且對(duì)角線(xiàn)MN過(guò)點(diǎn)C,已知AB=3米,AD=2米,記矩形AMPN的面積為S平方米.
(1)按下列要求建立函數(shù)關(guān)系;
(i)設(shè)AN=x米,將S表示為x的函數(shù);
(ii)設(shè)∠BMC=θ(rad),將S表示為θ的函數(shù).
(2)請(qǐng)你選用(1)中的一個(gè)函數(shù)關(guān)系,求出S的最小值,并求出S取得最小值時(shí)AN的長(zhǎng)度.
【答案】
(1)解:(i)∵Rt△CDN~Rt△MBC,∴ = ,
∴ ,∴BM= ,
由于 ,則AM=
∴S=ANAM= ,(x>2)
(ii)在Rt△MBC中,tanθ= ,∴MB= ,∴AM=3+ ,
在Rt△CDN中,tanθ= ,∴DN=3tanθ,∴AN=2+3tanθ,
∴S=AMAN=(3+ )(2+3tanθ),其中0<θ<
(2)解:選擇(ii)中關(guān)系式
∵S=AMAN=(3+ )(2+3tanθ),(0<θ< );
∴S=12+9tanθ+ ≥12+2 =24,
當(dāng)且僅當(dāng)9tanθ= ,即tanθ= 時(shí),取等號(hào),此時(shí)AN=4
答:當(dāng)AN的長(zhǎng)度為4米時(shí),矩形AMPN的面積最小,最小值為24m2.
【解析】(1)求出AN,AM,即可建立函數(shù)關(guān)系;(i)設(shè)AN=x米,先求出AM的長(zhǎng),即可表示出矩形AMPN的面積;(ii)由∠BMC=θ(rad),可以依次表示出AM與AN的長(zhǎng)度,即可表示出S關(guān)于θ的函數(shù)表達(dá)式;(2)選擇(ii)中的函數(shù)關(guān)系式,化簡(jiǎn),由基本不等式即可求出最值.
【考點(diǎn)精析】利用基本不等式在最值問(wèn)題中的應(yīng)用對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案,需要熟知用基本不等式求最值時(shí)(積定和最小,和定積最大),要注意滿(mǎn)足三個(gè)條件“一正、二定、三相等”.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某中學(xué)舉行了一次“環(huán)保知識(shí)競(jìng)賽”活動(dòng).為了了解本次競(jìng)賽學(xué)生成績(jī)情況,從中抽取了部分學(xué)生的分?jǐn)?shù)(得分取正整數(shù),滿(mǎn)分為100分)作為樣本(樣本容量為n)進(jìn)行統(tǒng)計(jì).按照,,,,的分組作出頻率分布直方圖,并作出樣本分?jǐn)?shù)的莖葉圖(圖中僅列出了得分在,的數(shù)據(jù)).
(1)求樣本容量n和頻率分布直方圖中x、y的值;
(2)在選取的樣本中,從競(jìng)賽成績(jī)是80分以上(含80分)的同學(xué)中隨機(jī)抽取2名同學(xué)到市政廣場(chǎng)參加環(huán)保知識(shí)宣傳的志愿者活動(dòng),求所抽取的2名同學(xué)來(lái)自不同組的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù), .
(1)若關(guān)于的不等式在上恒成立,求的取值范圍;
(2)設(shè)函數(shù),若在上存在極值,求的取值范圍,并判斷極值的正負(fù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,已知AC⊥BC,BC=CC1 , 設(shè)AB1的中點(diǎn)為D,B1C∩BC1=E.
求證:
(1)DE∥平面AA1C1C;
(2)BC1⊥AB1 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=ex+2ax(a為常數(shù))的圖象與y軸交于點(diǎn)A,曲線(xiàn)y=f(x)在點(diǎn)A處的切線(xiàn)斜率為﹣1.
(1)求a的值及函數(shù)f(x)的極值;
(2)證明:當(dāng)x>0時(shí),x2+1<ex .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知拋物線(xiàn)的方程為,過(guò)點(diǎn)的一條直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于兩點(diǎn),若拋物線(xiàn)在兩點(diǎn)的切線(xiàn)交于點(diǎn).
(1)求點(diǎn)的軌跡方程;
(2)設(shè)直線(xiàn)與直線(xiàn)的夾角為,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在數(shù)列{an}中,若a1=1,anan+1=( )n﹣2 , 則滿(mǎn)足不等式 + + +…+ + <2016的正整數(shù)n的最大值為 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某種產(chǎn)品的廣告費(fèi)支出x與銷(xiāo)售額y(單位:萬(wàn)元)之間有如下對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù):
x | 2 | 4 | 5 | 6 | 8 |
y | 30 | 40 | 60 | 50 | 70 |
(1)求回歸直線(xiàn)方程;
(2)試預(yù)測(cè)廣告費(fèi)支出為10萬(wàn)元時(shí),銷(xiāo)售額多大?
(3)在已有的五組數(shù)據(jù)中任意抽取兩組,求至少有一組數(shù)據(jù)其預(yù)測(cè)值與實(shí)際值之差的絕對(duì)值不超過(guò)5的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】【2017山西三區(qū)八校二!恳阎瘮(shù)(其中, 為常數(shù)且)在處取得極值.
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若在上的最大值為1,求的值.
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