【題目】【2017山西三區(qū)八校二模】已知函數(shù)(其中, 為常數(shù)且)在處取得極值.
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若在上的最大值為1,求的值.
【答案】(Ⅰ)單調(diào)遞增區(qū)間為, ;單調(diào)遞減區(qū)間為; (Ⅱ)或.
【解析】試題分析:(Ⅰ)由函數(shù)的解析式,可求出函數(shù)導(dǎo)函數(shù)的解析式,進(jìn)而根據(jù)是的一個(gè)極值點(diǎn),可構(gòu)造關(guān)于, 的方程,根據(jù)求出值;可得函數(shù)導(dǎo)函數(shù)的解析式,分析導(dǎo)函數(shù)值大于0和小于0時(shí), 的范圍,可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)對(duì)函數(shù)求導(dǎo),寫出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)等于0的的值,列表表示出在各個(gè)區(qū)間上的導(dǎo)函數(shù)和函數(shù)的情況,做出極值,把極值同端點(diǎn)處的值進(jìn)行比較得到最大值,最后利用條件建立關(guān)于的方程求得結(jié)果.
試題解析:
(Ⅰ)因?yàn)?/span>,所以,
因?yàn)楹瘮?shù)在處取得極值,
當(dāng)時(shí), , ,
由,得或;由,得,
即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為, ;單調(diào)遞減區(qū)間為.
(Ⅱ)因?yàn)?/span>,
令, , ,
因?yàn)?/span>在處取得極值,所以,
當(dāng)時(shí), 在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,
所以在區(qū)間上的最大值為,
令,解得,
當(dāng), ,
當(dāng)時(shí), 在上單調(diào)遞增, 上單調(diào)遞減, 上單調(diào)遞增,
所以最大值1可能的在或處取得,而 ,
所以,解得;
當(dāng)時(shí), 在區(qū)間上單調(diào)遞增, 上單調(diào)遞減, 上單調(diào)遞增,
所以最大值1可能在或處取得,
而,
所以,
解得,與矛盾.
當(dāng)時(shí), 在區(qū)間上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,
所最大值1可能在處取得,而,矛盾.
綜上所述, 或.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示,將一矩形花壇ABCD擴(kuò)建成一個(gè)更大的矩形花壇AMPN,要求M在AB的延長(zhǎng)線上,N在AD的延長(zhǎng)線上,且對(duì)角線MN過(guò)點(diǎn)C,已知AB=3米,AD=2米,記矩形AMPN的面積為S平方米.
(1)按下列要求建立函數(shù)關(guān)系;
(i)設(shè)AN=x米,將S表示為x的函數(shù);
(ii)設(shè)∠BMC=θ(rad),將S表示為θ的函數(shù).
(2)請(qǐng)你選用(1)中的一個(gè)函數(shù)關(guān)系,求出S的最小值,并求出S取得最小值時(shí)AN的長(zhǎng)度.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】【2017福建三明5月質(zhì)檢】已知直線與拋物線相切,且與軸的交點(diǎn)為,點(diǎn).若動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)所構(gòu)成三角形的周長(zhǎng)為6.
(Ⅰ) 求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程;
(Ⅱ) 設(shè)斜率為的直線交曲線于兩點(diǎn),當(dāng),且位于直線的兩側(cè)時(shí),證明: .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】【2017湖南長(zhǎng)沙二!磕撤N產(chǎn)品的質(zhì)量以其質(zhì)量指標(biāo)值衡量,并依據(jù)質(zhì)量指標(biāo)值劃分等極如下表:
質(zhì)量指標(biāo)值 | |||
等級(jí) | 三等品 | 二等品 | 一等品 |
從某企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品中抽取200件,檢測(cè)后得到如下的頻率分布直方圖:
(1)根據(jù)以上抽樣調(diào)查數(shù)據(jù) ,能否認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品符合“一、二等品至少要占全部產(chǎn)品90%”的規(guī)定?
(2)在樣本中,按產(chǎn)品等極用分層抽樣的方法抽取8件,再?gòu)倪@8件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取4件,求抽取的4件產(chǎn)品中,一、二、三等品都有的概率;
(3)該企業(yè)為提高產(chǎn)品質(zhì)量,開展了“質(zhì)量提升月”活動(dòng),活動(dòng)后再抽樣檢測(cè),產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值近似滿足,則“質(zhì)量提升月”活動(dòng)后的質(zhì)量指標(biāo)值的均值比活動(dòng)前大約提升了多少?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】【2017安徽阜陽(yáng)二!恳黄髽I(yè)從某生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取件產(chǎn)品,測(cè)量這些產(chǎn)品的某項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)值,得到的頻率分布直方圖如圖.
(1)估計(jì)該技術(shù)指標(biāo)值平均數(shù);
(2)在直方圖的技術(shù)指標(biāo)值分組中,以落入各區(qū)間的頻率作為取該區(qū)間值的頻率,若,則產(chǎn)品不合格,現(xiàn)該企業(yè)每天從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取件產(chǎn)品檢測(cè),記不合格產(chǎn)品的個(gè)數(shù)為,求的數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】【2017河北唐山三!已知函數(shù), .
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)若函數(shù)在區(qū)間有唯一零點(diǎn),證明: .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】橢圓mx2+ny2=1與直線x+y﹣1=0相交于A,B兩點(diǎn),過(guò)AB中點(diǎn)M與坐標(biāo)原點(diǎn)的直線的斜率為 ,則 的值為( )
A.
B.
C.1
D.2
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(本題滿分分)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,已知,,.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)證明:對(duì)一切正整數(shù),有.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)直線系M:xcosθ+ysinθ=1,對(duì)于下列四個(gè)命題:
①不在直線系M中的點(diǎn)都落在面積為π的區(qū)域內(nèi)
②直線系M中所有直線為一組平行線
③直線系M中所有直線均經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)
④對(duì)于任意整數(shù)n(n≥3),存在正n邊形,其所有邊均在直線系M中的直線上
其中真命題的代號(hào)是(寫出所有真命題的代號(hào)).
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