【題目】如圖，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，側(cè)棱A1A⊥底面ABCD，AB⊥AC，AB=1，AC=AA1=2，AD=CD= ，且點(diǎn)M和N分別為B1C和D1D的中點(diǎn)．
（I）求證：MN∥平面ABCD；
（II）求二面角D1﹣AC﹣B1的正弦值．

【答案】證明：（1）如圖，以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，依題意A（0，0，0），B（0，1，0），C（2，0，0），D（1，﹣2，0），
A1（0，0，2），B1（0，1，2），C1（2，0，2），D1（1，﹣2，2），
又∵M(jìn)，N分別為B1C和D1D的中點(diǎn)，∴M（1， ，1），N（1，﹣2，1）．
由題意得 =（0，0，1）為平面ABCD的一個(gè)法向量，
=（0，﹣ ，0），
∵ =0，又∵直線MN平面ABCD，
∴MN∥平面ABCD．
（II） =（1，﹣2，2）， ，設(shè) 為平面ACD1的法向量，
則 ，不妨設(shè)z=1，得 =（0，1，1），
設(shè) 為平面ACB1的一個(gè)法向量， =（0，1，2），
則 ，不妨設(shè)z=1，得 =（0，﹣2，1），
∴cos＜ ＞= =﹣ ，于是sin＜ ＞= = ，
∴二面角D1﹣AC﹣B1的正弦值為 ．

【解析】（Ⅰ）以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明MN∥平面ABCD．（Ⅱ）求出兩個(gè)平面的法向量，可計(jì)算兩個(gè)平面所成二面角的余弦值的大小，再求正弦值即可．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解直線與平面平行的判定(平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡(jiǎn)記為：線線平行，則線面平行)．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知公差不為0的等差數(shù)列{an}中，a1=2，且a2+1，a4+1，a8+1成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{an}通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列{bn}滿足bn= ，求適合方程b1b2+b2b3+…+bnbn+1= 的正整數(shù)n的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在△ABC中，a,b,c分別為角A，B，C所對(duì)的三邊，

（I）求角A；

（II）若，求b的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】對(duì)于不等式，則對(duì)區(qū)間上的任意x都成立的實(shí)數(shù)t的取值范圍是_______．

【答案】

【解析】

根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性求出x2﹣3x+2在區(qū)間[0，2]上的最小值和最大值，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化關(guān)于t的不等式組得答案．

∵x2﹣3x+2=，

∴當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，，（x2﹣3x+2）max=2．

∴．

∴對(duì)于不等式（2t﹣t2）≤x2﹣3x+2≤3﹣t2，對(duì)區(qū)間[0，2]上任意x都成立的實(shí)數(shù)t的取值范圍是[﹣1，1﹣]．

故答案為：[﹣1，1﹣].

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)恒成立問(wèn)題，考查了不等式的解法，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是基礎(chǔ)題．二次不等式分含參二次不等式和不含參二次不等式；對(duì)于含參的二次不等式問(wèn)題，先判斷二次項(xiàng)系數(shù)是否含參，接著討論參數(shù)等于0，不等于0，再看式子能否因式分解，若能夠因式分解則進(jìn)行分解，再比較兩根大小,結(jié)合圖像得到不等式的解集.

【題型】填空題
【結(jié)束】
16

【題目】等差數(shù)列{an}的公差d≠0滿足成等比數(shù)列，若=1，Sn是{}的前n項(xiàng)和，則的最小值為________．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】設(shè)是公比為正數(shù)的等比數(shù)列,,

(1)求的通項(xiàng)公式;

(2)設(shè)是首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列,求數(shù)列的前項(xiàng)和

【答案】（1）（2）

【解析】

(1)根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得到：，解得二次方程可得到或(舍去)，進(jìn)而得到數(shù)列的通項(xiàng)；（2）已知數(shù)列的類型是等差數(shù)列與等比數(shù)列求和的問(wèn)題，根據(jù)等差等比數(shù)列求和公式得到結(jié)果即可.

解:(1)設(shè)為等比數(shù)列的公比,則由,得:

即,解得:或(舍去)

所以的通項(xiàng)公式為

(2) 由 等 差 數(shù) 列 的 通 項(xiàng) 公 式 得 到：

由 等 差 數(shù) 列求 和 公 式 和 等 比 數(shù) 列 前 n 項(xiàng) 和 公 式 得 到

【點(diǎn)睛】

這個(gè)題目考查的是數(shù)列通項(xiàng)公式的求法及數(shù)列求和的常用方法；數(shù)列通項(xiàng)的求法中有常見的已知和的關(guān)系，求表達(dá)式，一般是寫出做差得通項(xiàng)，但是這種方法需要檢驗(yàn)n=1時(shí)通項(xiàng)公式是否適用；數(shù)列求和常用法有：錯(cuò)位相減，裂項(xiàng)求和，分組求和等。

【題型】解答題
【結(jié)束】
18

【題目】設(shè)a≠b，解關(guān)于x的不等式a2x＋b2(1－x)≥[ax＋b(1－x)]2．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】曲線C1的參數(shù)方程為 (θ為參數(shù)),將曲線C1上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍,縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的倍,得到曲線C2.以平面直角坐標(biāo)系xOy的原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸,取相同的單位長(zhǎng)度建立極坐標(biāo)系,已知直線l:ρ(cosθ-2sinθ)=6.

(1)求曲線C2和直線l的普通方程.

(2)P為曲線C2上任意一點(diǎn),求點(diǎn)P到直線l的距離的最值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】從1至9這9個(gè)自然數(shù)中任取兩個(gè)：

恰有一個(gè)偶數(shù)和恰有一個(gè)奇數(shù)；至少有一個(gè)是奇數(shù)和兩個(gè)數(shù)都是奇數(shù)；

至多有一個(gè)奇數(shù)和兩個(gè)數(shù)都是奇數(shù)；至少有一個(gè)奇數(shù)和至少有一個(gè)偶數(shù)．

在上述事件中，是對(duì)立事件的是　　

A. B. C. D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】用長(zhǎng)為18 cm的鋼條圍成一個(gè)長(zhǎng)方體形狀的框架，要求長(zhǎng)方體的長(zhǎng)與寬之比為2：1，問(wèn)該長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高各為多少時(shí)，其體積最大？最大體積是多少？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】一個(gè)口袋中裝有個(gè)紅球且和個(gè)白球，一次摸獎(jiǎng)從中摸兩個(gè)球，兩個(gè)球顏色不同則為中獎(jiǎng).

(1)用表示一次摸獎(jiǎng)中獎(jiǎng)的概率；

(2)若，設(shè)三次摸獎(jiǎng)（每次摸獎(jiǎng)后球放回）恰好有次中獎(jiǎng),求的數(shù)學(xué)期望；

(3)設(shè)三次摸獎(jiǎng)（每次摸獎(jiǎng)后球放回）恰好有一次中獎(jiǎng)的概率,當(dāng)取何值時(shí)， 最大？

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