Question

13．若-2≤x≤2，則函數(shù)$f（x）={（\frac{1}{4}）}^{x}-3•{（\frac{1}{2}）}^{x}+2$的值域為[$-\frac{1}{4}$，6]．

Answer 1

分析 先寫出$f（x）=（\frac{1}{2}）^{2x}-3•（\frac{1}{2}）^{x}+2$，從而可設$（\frac{1}{2}）^{x}=t$，根據(jù)x的范圍即可求出t的范圍，進而得到二次函數(shù)y=t²-3t+2，這樣配方求該函數(shù)的值域即可得出f（x）的值域．

解答 解：$f（x）=（\frac{1}{2}）^{2x}-3•（\frac{1}{2}）^{x}+2$，-2≤x≤2；
設$（\frac{1}{2}）^{x}=t$，則$\frac{1}{4}≤t≤4$；
∴$y={t}^{2}-3t+2=（t-\frac{3}{2}）^{2}-\frac{1}{4}$；
∴$t=\frac{3}{2}$時，${y}_{min}=-\frac{1}{4}$，t=4時，y_max=6；
∴f（x）的值域為$[-\frac{1}{4}，6]$．
故答案為：$[-\frac{1}{4}，6]$．

點評 考查指數(shù)式的運算，換元法求函數(shù)的值域，以及配方求二次函數(shù)值域的方法．