Question

7．已知等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為a₁，公差為d，其前n項(xiàng)和為S_n，若直線y=a₁x+m與圓x²+（y-1）²=1的兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于直線x+y-d=0對稱，則數(shù)列（$\frac{1}{{S}_{n}}$）的前100項(xiàng)的和為$\frac{200}{101}$．

Answer 1

分析 通過直線y=a₁x+m與直線x+y-d=0垂直可知a₁=1，利用直線x+y-d=0必過圓心可知d=1，求出等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，再由裂項(xiàng)相消法求得數(shù)列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}的前100項(xiàng)的和．

解答 解：依題意，直線x+y-d=0的斜率為-1，
則a₁=1，
又∵直線y=a₁x+m與圓x²+（y-1）²=1的兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于直線x+y-d=0對稱，
∴直線x+y-d=0必過圓心，
即0+1-d=0，d=1，
∴數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)、公差均為1的等差數(shù)列，
∴S_n=n+$\frac{n（n-1）×1}{2}$=$\frac{n（n+1）}{2}$，
∴$\frac{1}{{S}_{n}}=\frac{2}{n（n+1）}=2（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，
∴數(shù)列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}的前100項(xiàng)的和為$2（1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+\frac{1}{100}-\frac{1}{101}）=\frac{200}{101}$，
故答案為：$\frac{200}{101}$．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查數(shù)形結(jié)合能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．