Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁（側(cè)棱和底面垂直的棱柱）中，AB⊥BC，AB=BC=AA₁=3，線段AC、A₁B上分別有一點E、F，且滿足2AE=EC，2BF=FA₁．
（1）求證：平面A₁BC⊥側(cè)面A₁ABB₁；
（2）求二面角F-BE-C的平面角的余弦值．

Answer 1

考點：用空間向量求平面間的夾角,平面與平面垂直的判定,與二面角有關的立體幾何綜合題

專題：空間位置關系與距離,空間向量及應用

分析：（1）由BC⊥AB，BC⊥AA₁，推導出BC⊥面A₁ABB₁，由此能夠證明面A₁BC⊥面A₁ABB₁．
（2）以點B為坐標原點，以BC、BA、BB₁所在的直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角F-BE-C的平面角的余弦值．

解答： （1）證明：在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
∵BC⊥AB，BC⊥AA₁，
∴BC⊥面A₁ABB₁，
又∵BC?面A₁BC，
∴面A₁BC⊥面A₁ABB₁．（4分）
（2）解：由（1）知，以點B為坐標原點，
以BC、BA、BB₁所在的直線分別為x軸、y軸、z軸，
建立如圖所示的空間直角坐標系．
∵AB=BC=AA₁=3，
∴B（0，0，0），A（0，3，0），C（3，0，0），A₁（0，3，3），
又∵線段AC、A₁B上分別有一點E、F，滿足2AE=EC，2BF=FA₁，
∴E（1，2，0），F(xiàn)（0，1，1），（6分）
∴

BE

=（1，2，0），

BF

=（0，1，1），
設平面BEF的法向量

n

=(x，y，z)，則

n

•

BE

=0，

n

•

BF

=0，
∴

x+2y=0 y+z=0

，∴面BEF的法向量

n

=(2，-1，1)，（8分）
面BEC的法向量

m

=（0，0，-1），
設所求二面角平面角為θ，
則cosθ=-|cos＜

m

，

n

＞|=-|

-1

1× 6

|=-

6

6

．
∴二面角F-BE-C的平面角的余弦值為-

6

6

．（12分）

點評：本題考查平面與平面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．