【題目】在各項均為正數的等比數列{an}中,,且a4+a5=6a3.
(Ⅰ)求數列{an}的通項公式;
(Ⅱ)設數列{log2an}的前n項和為Sn,求Sn的最小值.
【答案】(Ⅰ)an=2n-4(Ⅱ)-6
【解析】
(Ⅰ)各項均為正數的等比數列{an}的公比設為q,q>0,由等比數列的通項公式,解方程即可得到所求首項和公比,進而得到所求通項公式;
(Ⅱ)設bn=log2an=log22n-4=n-4,求得數列{bn}的項的正負,即可得到所求最小值.
解:(Ⅰ)各項均為正數的等比數列{an}的公比設為q,q>0,
,且a4+a5=6a3,
可得a1q=,a1q3+a1q4=6a1q2,
解得q=2,a1=,
則an=a1qn-1=2n-1=2n-4;
(Ⅱ)設bn=log2an=log22n-4=n-4,
由1≤n≤4時,bn≤0,n≥5時,bn>0,
可得Sn的最小值為S3=S4=-3-2-1=-6.
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【題目】已知函數.
(1)若函數在區(qū)間上是增函數,求實數的取值范圍;
(2)若是函數的極值點,求函數在上的最大值;
(3)在(2)的條件下,是否存在實數,使得函數的圖象與函數的圖象恰有個交點?若存在,請求出的取值范圍;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】為保障食品安全,某地食品藥監(jiān)管部門對轄區(qū)內甲、乙兩家食品企業(yè)進行檢查,分別從這兩家企業(yè)生產的某種同類產品中隨機抽取了100件作為樣本,并以樣本的一項關鍵質量指標值為檢測依據.已知該質量指標值對應的產品等級如下:
質量指標值 | [15,20) | [20,25) | [25,30) | [30,35) | [35,40) | [40,45] |
等級 | 次品 | 二等品 | 一等品 | 二等品 | 三等品 | 次品 |
根據質量指標值的分組,統計得到了甲企業(yè)的樣本頻率分布直方圖和乙企業(yè)的樣本頻數分布表(如下面表,其中a>0).
質量指標值 | 頻數 |
[15,20) | 2 |
[20,25) | 18 |
[25,30) | 48 |
[30,35) | 14 |
[35,40) | 16 |
[40,45] | 2 |
合計 | 100 |
(Ⅰ)現從甲企業(yè)生產的產品中任取一件,試估計該件產品為次品的概率;
(Ⅱ)為守法經營、提高利潤,乙企業(yè)開展次品生產原因調查活動.已知乙企業(yè)從樣本里的次品中隨機抽取了兩件進行分析,求這兩件次品中恰有一件指標值屬于[40,45]的產品的概率;
(Ⅲ)根據圖表數據,請自定標準,對甲、乙兩企業(yè)食品質量的優(yōu)劣情況進行比較.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的中心在原點,焦點在坐標軸上,且經過,.
(Ⅰ)求橢圓的標準方程和離心率;
(Ⅱ)四邊形的四個頂點都在橢圓上,且對角線,過原點,若,求證:四邊形的面積為定值,并求出此定值.
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【題目】在傳染病學中,通常把從致病刺激物侵入機體或者對機體發(fā)生作用起,到機體出現反應或開始呈現該疾病對應的相關癥狀時止的這一階段稱為潛伏期.一研究團隊統計了某地區(qū)100名患者的相關信息,得到如下表格:
潛伏期(單位:天) | |||||||
人數 | 85 | 205 | 310 | 250 | 130 | 15 | 5 |
(1)求這1000名患者的潛伏期的樣本平均數(同一組中的數據用該組區(qū)間的中點值作代表);
(2)該傳染病的潛伏期受諸多因素的影響,為研究潛伏期與患者年齡的關系,以潛伏期是否超過6天為標準進行分層抽樣,從上述1000名患者中抽取200人,得到如下列聯表.請將列聯表補充完整,并根據列聯表判斷是否有95%的把握認為潛伏期與患者年齡有關;
潛伏期天 | 潛伏期天 | 總計 | |
50歲以上(含50歲) | 100 | ||
50歲以下 | 55 | ||
總計 | 200 |
附:
0.05 | 0.025 | 0.010 | |
3.841 | 5.024 | 6.635 |
,其中.
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【題目】(2017高考新課標Ⅲ,理19)如圖,四面體ABCD中,△ABC是正三角形,△ACD是直角三角形,∠ABD=∠CBD,AB=BD.
(1)證明:平面ACD⊥平面ABC;
(2)過AC的平面交BD于點E,若平面AEC把四面體ABCD分成體積相等的兩部分,求二面角D–AE–C的余弦值.
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