Question

3．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}|{2^x}-1|，x≤1\\|{log_{2017}}（x-1）|，x＞1\end{array}$，若方程f（x）=t有四個不同的實數(shù)根a，b，c，d，且a＜b＜c＜d，則a+b+$\frac{1}{c}+\frac{1}tddfh5n$的取值范圍為（　�。�

• A． （-∞，1]
• B． [1，2017）
• C． （-∞，1）
• D． （1，2017）

Answer 1

分析 畫出f（x）的圖象，可得1-2^a=2^b-1=-log₂₀₁₇（c-1）=log₂₀₁₇（d-1）=t，（0＜t＜1），分別用t表示a，b，c，d，再由指數(shù)和對數(shù)的運算性質(zhì)及不等式的性質(zhì)，即可得到所求范圍．

解答 解：函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}|{2^x}-1|，x≤1\\|{log_{2017}}（x-1）|，x＞1\end{array}$，
若方程f（x）=t有四個不同的實數(shù)根a，b，c，d，且a＜b＜c＜d，
可得1-2^a=2^b-1=-log₂₀₁₇（c-1）=log₂₀₁₇（d-1）=t，（0＜t＜1），
即有2^a=1-t，2^b=1+t，
a+b=log₂（1-t）+log₂（1+t）=log₂（1-t²）＜0，
c-1=2017^-t，d-1=2017^t，
$\frac{1}{c}+\frac{1}97ft999$=$\frac{1}{1+201{7}^{-t}}$+$\frac{1}{1+201{7}^{t}}$=$\frac{201{7}^{t}+1}{1+201{7}^{t}}$=1，
則a+b+$\frac{1}{c}+\frac{1}fhhz9l3$＜1．
故選：C．

點評 本題考查方程根的情況，考查數(shù)形結(jié)合思想方法和轉(zhuǎn)化思想，同時考查對數(shù)和指數(shù)的運算性質(zhì)，不等式的性質(zhì)，屬于中檔題．